Cho hình chóp \(S.ABC\) đáy là tam giác đều cạnh \(a\) với \(O\) là trọng tâm. Biết \(SO \bot BC,SO
Cho hình chóp \(S.ABC\) đáy là tam giác đều cạnh \(a\) với \(O\) là trọng tâm. Biết \(SO \bot BC,SO \bot CA\) và \(SO = 2a\). Gọi \(M\) là điểm thuộc đường cao \(AA'\) của tam giác \(ABC\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và song song với \(BC\) và \(SO\). Đặt \(AM = x\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} \le x \le \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)\). Tìm \(x\) để diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( P \right)\) đạt giá trị lớn nhất.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Xác định thiết diện:
Theo giả thiết \(AM = x\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} \le x \le \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)\) nên \(M \in OA'\).
Xét \(\left( P \right)\) và tam giác \(\left( {ABC} \right)\) có \(M\) chung.
Do \(\left( P \right)//BC\) nên kẻ qua \(M\) đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(AB,AC\) tại \(E,F\).
Tương tự kẻ qua \(M\) đường thẳng song song với \(SO\) cắt \(SA'\) tại \(N\), qua \(N\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(SB,SC\) tại \(H,Q\)
Do vậy, thiết diện của chóp cắt bởi \(\left( P \right)\) là tứ giác \(EFGH\).
Xác định diện tích thiết diện:
Ta có \(EF//BC//GH\) và \(M,N\) là trung điểm \(EF,GH\) nên \(EFGH\) là hình thang cân đáy \(HG,EF\). Khi đó \({S_{EFGH}} = \dfrac{1}{2}\left( {EF + GH} \right)MN\).
Ta có \(\dfrac{{HG}}{{BC}} = \dfrac{{SN}}{{SA'}} = \dfrac{{OM}}{{OA'}} \Rightarrow HG = 2\left( {x\sqrt 3 - a} \right),\dfrac{{EF}}{{BC}} = \dfrac{{AM}}{{AA'}} = \dfrac{x}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} \Rightarrow EF = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}x\)
\(\dfrac{{MN}}{{SO}} = \dfrac{{MA'}}{{OA'}} \Rightarrow MN = 2\left( {3a - 2x\sqrt 3 } \right)\).
\({S_{EFGH}} = \dfrac{1}{2}\left( {EF + GH} \right)MN = \dfrac{2}{3}\left( {4x\sqrt 3 - 3a} \right)\left( {3a - 2x\sqrt 3 } \right)\)
\( = \dfrac{1}{3}\left( {4x\sqrt 3 - 3a} \right)\left( {6a - 4x\sqrt 3 } \right)\mathop \le \limits^{{\rm{\;Cauchy\;}}} \dfrac{1}{3} \cdot {\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4}\).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(4x\sqrt 3 - 3a = 6a - 4x\sqrt 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{{3a\sqrt 3 }}{8}\)
Vậy \({S_{EFGH}}\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{3}{4}{a^2}\) khi và chỉ khi \(x = \dfrac{{3a\sqrt 3 }}{8}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
