Một người thợ cơ khí cần cắt vừa đủ một cây sắt dài 100 dm thành các đoạn để hàn

Câu hỏi số 656576:

Vận dụng cao

Một người thợ cơ khí cần cắt vừa đủ một cây sắt dài 100 dm thành các đoạn để hàn lại thành khung một hình lập phương và một hình hộp chữ nhật. Biết hình hộp chữ nhật có chiều dài gấp 6 lần chiều rộng và chiều cao bằng chiều rộng (hình vẽ minh họa). Tìm độ dài của các đoạn sắt sao cho tổng thể tích cùa hai hình thu được nhỏ nhất?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:656576

Giải chi tiết

Gọi cạnh hình lập phương bằng x (dm) (ĐK: x > 0).

=> Hình hộp chữ nhật có: Chiều cao = chiều rộng = y (dm) (ĐK: y > 0).

=> Chiều dài hình hộp chữ nhật bằng 6y (dm).

Hình lập phương có 12 cạnh có độ dài bằng x (dm).

Hình hộp chữ nhật có 8 cạnh có độ dài bằng y (dm) và 4 cạnh có độ dài 6y (dm).

Người thợ cắt vừa đủ một cây sắt dài 100m nên ta có:

\(12x + 8y + 4.6y = 100 \Leftrightarrow 12x + 32y = 100 \Leftrightarrow 3x + 8y = 25 \Leftrightarrow x = \dfrac{{25 - 8y}}{3}\)

Thể tích khối lập phương là \({V_1} = {x^3}\).

Thể tích khối hộp chữ nhật là \({V_2} = y.y.6y = 6{y^3}\).

Tổng thể tích hai hình là: \(V = {V_1} + {V_2} = {x^3} + 6{y^3}\).

Ta có: \({x^3} + {3^3} + {3^3} \ge 3\sqrt[3]{{{x^3} \cdot {3^3} \cdot {3^3}}} = 27x\)

\(6\left( {{y^3} + {2^3} + {2^3}} \right) \ge 6 \cdot 3 \cdot \sqrt[3]{{{y^3} \cdot {2^3} \cdot {2^3}}} = 72y\)

Cộng vế theo vế hai bất phương trình ta được:

\(\begin{array}{l}{x^3} + 6{y^3} + 150 \ge 27x + 72y\\ \Leftrightarrow V + 150 \ge 9(3x + 8y)\\ \Leftrightarrow V + 150 \ge 9.25\\ \Leftrightarrow V + 150 \ge 225\\ \Leftrightarrow V \ge 75\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 2}\end{array}} \right.\).

Vậy tổng thể tích của hai hình thu được nhỏ nhất bằng \(75{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}\) khi độ dài cạnh hình lập phương bằng \(3{\rm{dm}}\), độ dài chiều rộng và chiều cao hình hộp chữ nhật bằng \(2{\rm{dm}}\), chiều dài hình hộp chữ nhật bằng \(12{\rm{dm}}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link