Cho nửa đuờng tròn tâm \(O\), đuờng kính BC. Trên nửa đường tròn (O) lấy A (A khác B và \(C\)
Cho nửa đuờng tròn tâm \(O\), đuờng kính BC. Trên nửa đường tròn (O) lấy A (A khác B và \(C\) ), gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên B C. Trên cung AC của nửa đường tròn (O) lấy điểm D (D khác \(A\) và \(C\) ), gọi \(E\) là hình chiếu của \(A\) trên BD, I là giao điểm của hai đường thằng AH và BD.
a) Chứng minh tứ giác ABHE nội tiếp;
b) Chứng minh BI.BD = BH.BC.
c) Chứng minh hai tam giác AHE và ACD đồng dạng;
d) Hai đường thẳng AE và DH cắt nhau tại \(F\). Chứng minh \(IF//AD\).
Quảng cáo
a) Sử dụng tính chất hai góc kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới 2 góc bằng nhau
b) Chứng minh \(\Delta BIH \sim \Delta BCD\,\,(g \cdot g)\)
c) Chứng minh \(\Delta AEH \sim \Delta ADC(g.g)\,\,\)
d) Chứng minh I là trực tâm của tam giác \({\rm{SAB}}\) và sử dụng định lý Talet
a) Chứng minh tứ giác ABHE nội tiếp;
Do \(AH \bot BC(gt),\,\,AE \bot BD(gt) \Rightarrow \angle AHB = \angle AEB = {90^0}\)
Mà \({\rm{E}},{\rm{H}}\) là 2 đỉnh kề nhau, cùng nhìn \({\rm{AD}}\) dưới 2 góc bằng nhau nên \({\rm{A}},{\rm{E}},{\rm{H}},{\rm{B}}\) cùng thuộc một đường tròn (dhnb)
Hay tứ giác ABHE nội tiếp (đpcm).
b) Chứng minh BI.BD = BH.BC.
Ta có \(\angle BDC = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Xét \(\Delta BIH\) và \(\Delta BCD\) có:
\(\angle CBD\) chung
\(\angle BHI = \angle BDC = {90^0}\)
\( \Rightarrow \Delta BIH\sim\Delta BCD\,\,(g \cdot g)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{BI}}{{BC}} = \dfrac{{BH}}{{BD}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\( \Rightarrow BI.BD = BH.BC\,\,(dpcm)\)
c) Chứng minh hai tam giác AHE và ACD đồng dạng;
Do ABHE nội tiếp (cmt) nên \(\angle AHE = \angle ABE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AE).
Mà \(\angle ABE = \angle ACD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD).
\( \Rightarrow \angle AHE = \angle ACD\)
Do ABHE nội tiếp (cmt) nên \(\angle HAE = \angle HBE = \angle CBD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE).
Lại có tứ giác ABCD nội tiếp \((O) \Rightarrow \angle CBD = \angle CAD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \({\rm{CD}}\) )
\( \Rightarrow \angle HAE = \angle CAD\)
Xét tam giác \({\rm{AHE}}\) và tam giác \({\rm{ACD}}\) có:
\(\begin{array}{l}\angle AHE = \angle ACD\,\,({\rm{cmt}})\\\angle HAE = \angle CAD\,\,({\rm{cmt}})\\ \Rightarrow \Delta AEH \sim \Delta ADC(g.g)\,\,\,({\rm{ dpcm }})\end{array}\)
d) Hai đường thẳng AE và DH cắt nhau tại \(F\). Chứng minh \(IF//AD\).
Xét tam giác \({\rm{SAB}}\) có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AH \bot SB}\\{BE \bot SA}\\{AH \cap BE = \{ I\} }\end{array} \Rightarrow I} \right.\) là trực tâm của tam giác \({\rm{SAB}}\).
\( \Rightarrow SI \bot AB\) (SI là đường cao thứ ba).
Mà \(\angle BAC = {90^\circ }\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow AC \bot AB\).
\( \Rightarrow SI//AC\) (từ vuông góc đến song song).
\( \Rightarrow \dfrac{{SI}}{{AC}} = \dfrac{{SH}}{{HC}}(\) định lí Ta-lét ).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SF \bot BD({\rm{ do }}AE \bot BD)}\\{CD \bot BD\left( {\angle BDC = {{90}^\circ }{\rm{cmt}}} \right)}\end{array} \Rightarrow SF//CD} \right.\) (từ vuông góc đến song song).
\( \Rightarrow \dfrac{{SH}}{{HC}} = \dfrac{{SF}}{{CD}}(\) định lí Ta-lét)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \dfrac{{SI}}{{AC}} = \dfrac{{SF}}{{CD}}\)
Lại có: \({\rm{IS}}//{\rm{AC}}\,\,({\rm{cmt}}) \Rightarrow \angle ISF = \angle SAC\) (hai góc so le trong bằng nhau)
\({\rm{SA}}//{\rm{CD}}\,\,\,({\rm{SF}}//{\rm{CD}}) \Rightarrow \angle SAC = \angle ACD\) (hai góc so le trong bằng nhau)
\( \Rightarrow \angle ISF = \angle ACD\)
Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \Delta ISF\sim \Delta ACD\) (c.g.c) \( \Rightarrow \angle IFS = \angle ADC\) (hai góc tương ứng)
Ta có:
\(\angle IFA = {180^0} - \angle IFS = {180^0} - \angle ADC = \angle DAC + \angle ACD = \angle DAC + \angle SAC = \angle SAD\)
Mà hai góc này ở vị trí hai góc so le trong bằng nhau.
Vậy IF // AD (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
