Cho các số thực dương a, b, c thay đổi và thoả mãn điều kiện \(a + 9b + 6c = 2023\). Tìm giá trị

Câu hỏi số 657129:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương a, b, c thay đổi và thoả mãn điều kiện \(a + 9b + 6c = 2023\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(P = \sqrt {3{a^2} + 63ab + 243{b^2}} + \sqrt {243{b^2} + 378bc + 108{c^2}} + \sqrt {108{c^2} + 42ca + 3{a^2}} \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:657129

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Đặt \(x = a;y = 9b;z = 6c\); \(x,y,z > 0\)

Suy ra: \(x + y + z \le 2023\)

Khi đó: \(P = \sqrt {3{x^2} + 7xy + 3{y^2}} + \sqrt {3{y^2} + 7yz + 3{z^2}} + \sqrt {3{z^2} + 7zx + 3{x^2}} \)

\( = \sqrt {5{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2{{\left( {x - y} \right)}^2}} + \sqrt {5{{\left( {y + z} \right)}^2} - 2{{\left( {y - z} \right)}^2}} + \sqrt {5{{\left( {z + x} \right)}^2} - 2{{\left( {z - x} \right)}^2}} \)

Vì \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\); \({\left( {y - z} \right)^2} \ge 0\); \({\left( {z - x} \right)^2} \ge 0\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}P \le \sqrt {5{{\left( {x + y} \right)}^2}} + \sqrt {5{{\left( {y + z} \right)}^2}} + \sqrt {5{{\left( {z + x} \right)}^2}} \\\,\,\,\, = \sqrt 5 \left( {x + y} \right) + \sqrt 5 \left( {y + z} \right) + \sqrt 5 \left( {z + x} \right)\\\,\,\,\, = 2\sqrt 5 \left( {x + y + z} \right) \le 2\sqrt 5 .2023 = 4046\sqrt 5 \end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z\) hay \(a = 9b = 6c = \dfrac{{2023}}{3}\)

Vậy giá trị lớn nhất của P là \(4046\sqrt 5 \) khi \(a = 9b = 6c = \dfrac{{2023}}{3}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link