Cho tam giác ABC vuông tại \(A(AB < AC)\). Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh BC. Qua \(I\) kẻ IM

Câu hỏi số 658093:

Vận dụng

Cho tam giác ABC vuông tại \(A(AB < AC)\). Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh BC. Qua \(I\) kẻ IM vuông góc với AB tại \(M\) và IN vuông góc với AC tại \(N\). Lấy \(D\) đối xứng \(I\) qua \(N\).

a) Tứ giác ADCI là hình gì?

b) Đường thẳng BN cắt DC tại \(K\). Chứng minh \(\dfrac{{DK}}{{DC}} = \dfrac{1}{3}\).

c) Cho \(AB = 12\;{\rm{cm}},BC = 20\;{\rm{cm}}\). Tính diện tích hình ADCI.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:658093

Phương pháp giải

a) Dựa vào định lí: đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh thứ nhất và song song với cạnh thứ hai thì nó cũng đi qua trung điểm của cạnh thứ ba trong tam giác. Từ đó chứng minh được N là trung điểm của AC.

Chứng minh tứ giác ADCI có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

Chứng minh hình bình hành ADCI có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

b) Gọi \({\rm{E}}\) là giao điểm của \({\rm{AI}}\) và \({\rm{BK}}\), suy ra được E là trọng tâm \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow \dfrac{{EI}}{{AI}} = \dfrac{1}{3}\)

Chứng minh EI = DK, AI = DC, rồi suy ra đpcm.

c) Diện tích hình thoi ADCI bằng \(\dfrac{{AC.DI}}{2}\)

Giải chi tiết

a) Vì \({\rm{IN}} \bot {\rm{AC}};{\rm{AB}} \bot {\rm{AC}} \Rightarrow {\rm{IN}}//{\rm{AB}}\)

Xét \(\Delta {\rm{ABC}}\) có: \({\rm{I}}\) là trung điểm \({\rm{BC}};{\rm{IN}}//{\rm{AB}}({\rm{cmt}})\)

\( \Rightarrow {\rm{N}}\) là trung điểm của \({\rm{AC}}\) (định lí)

Xét tứ giác \({\rm{ADCI}}\) có:

\({\rm{N}}\) là trung điểm của đường chéo \({\rm{AC}}\) (cmt)

\({\rm{N}}\) là trung điểm của đường chéo \({\rm{DI}}\) (vì \(D\) đối xứng \(I\) qua \(N\))

\( \Rightarrow {\rm{ADCI}}\) là hình bình hành

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A có I là trung điểm của BC \( \Rightarrow AI = \dfrac{{BC}}{2} = CI\) (tính chất)

\( \Rightarrow {\rm{ADCI}}\) là hình thoi (đpcm)

b) Gọi \({\rm{E}}\) là giao điểm của \({\rm{AI}}\) và \({\rm{BK}}\)

Xét \(\Delta {\rm{ABC}}\) có: trung tuyến \({\rm{AI}}\) và \({\rm{BN}}\) cắt nhau tại \({\rm{E}}\)

\( \Rightarrow {\rm{E}}\) là trọng tâm của \(\Delta {\rm{ABC}} \Rightarrow \dfrac{{{\rm{EI}}}}{{{\rm{AI}}}} = \dfrac{1}{3}\) (1)

Xét \(\Delta {\rm{NEI}}\) và \(\Delta {\rm{NKD}}\) có:

\({\rm{ENI}} = {\rm{KND}}\) (đối đỉnh); \({\rm{NI}} = {\rm{ND}}\) (cmt); \({\rm{NIE}} = {\rm{NDK}}\) (vì AI // DC)

\( \Rightarrow \Delta {\rm{NEI}} = \Delta {\rm{NKD}}({\rm{ g}}{\rm{.c}}{\rm{.g }}) \Rightarrow {\rm{EI}} = {\rm{DK}}\) (hai cạnh tương ứng) (2)

Vì\({\rm{ADCI}}\) là hình thoi \(({\rm{cmt}}) \Rightarrow {\rm{AI}} = {\rm{DC}}\) (3)

Từ (1); (2); (3) \( \Rightarrow \dfrac{{{\rm{DK}}}}{{{\rm{DC}}}} = \dfrac{1}{3}(\) đpcm)

c) Xét \(\Delta {\rm{ABC}}\) vuông tại \({\rm{A}}\) có: \({\rm{A}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{C}}^2} = {\rm{B}}{{\rm{C}}^2}\) (Định lí Pythagore)

\( \Rightarrow {12^2} + {\rm{A}}{{\rm{C}}^2} = {20^2} \Rightarrow {\rm{AC}} = 16(\;{\rm{cm}})\)

Có: \({\rm{N}}\) là trung điểm \({\rm{AC}};{\rm{I}}\) là trung điểm \({\rm{BC}}\)

\( \Rightarrow {\rm{NI}}\) là đường trung bình của \(\Delta {\rm{ABC}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{NI}} = \dfrac{{{\rm{AB}}}}{2} = 6(\;{\rm{cm}})\\ \Rightarrow {\rm{ID}} = 2{\rm{NI}} = 12(\;{\rm{cm}})\\ \Rightarrow {{\rm{S}}_{{\rm{ADCI}}}} = \dfrac{{{\rm{AC}}{\rm{.ID}}}}{2} = \dfrac{{16.12}}{2} = 96\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link