Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC và điểm 4 thuộc nửa đường tròn đó, (A khác B và
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC và điểm 4 thuộc nửa đường tròn đó, (A khác B và C). Lấy điểm E thuộc cung AB (E khác A và B) sao cho BE < AC, gọi M là giao điểm của AB và CE. Kẻ MH vuông góc với BC tại H.
1. Chứng minh tứ giác ACHM nội tiếp.
2. Chứng minh \(\Delta \)BAE đồng dạng với \(\Delta \)HAM .
3. Gọi K là giao điểm của OE và HA. Chứng minh KE.KO = KA.KH.
Quảng cáo
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC và điểm 4 thuộc nửa đường tròn đó, (A khác B và C). Lấy điểm E thuộc cung AB (E khác A và B) sao cho BE < AC, gọi M là giao điểm của AB và CE. Kẻ MH vuông góc với BC tại H.
1. Chứng minh tứ giác ACHM nội tiếp.
Ta có \(\angle BAC = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Mà \(\angle MHC = {90^0}\left( {MH \bot BC} \right)\)
\( \Rightarrow \angle MHC + \angle MAC = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà 2 góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác MHCA nội tiếp (dhnb) (đpcm)
2. Chứng minh \(\Delta \)BAE đồng dạng với \(\Delta \)HAM .
Do AMHC nội tiếp (cmt) nên \(\angle MAH = \angle MCH\) (cùng chắn cung MH)
và \(\angle MHA = \angle MCA\) (cùng chắn cung AM)
Mà \(\angle MCH = \angle ECB = \angle EAB\) (cùng chắn cung EB) và \(\angle ACE = \angle EBA\) (cùng chắn cung AE)
\( \Rightarrow \angle MAH = \angle EAB\left( { = \angle ECB} \right)\) và \(\angle MHA = \angle EBA\left( { = \angle ECA} \right)\)
Xét \(\Delta MHA\) và \(\Delta EBA\) có:
\(\angle MAH = \angle EAB\) (cmt)
\(\angle MHA = \angle EBA\) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta MAH \sim \Delta EAB\left( {g.g} \right)\) (đpcm)
3. Gọi K là giao điểm của OE và HA. Chứng minh KE.KO = KA.KH.
Do MHCA nội tiếp nên \(\angle AHC = \angle AMC\) (cùng chắn cung AC)
Mà \(\angle AMC = \dfrac{1}{2}\left( {sdAC + sdEB} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {{{180}^0} - sdAE} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {{{180}^0} - \angle EOA} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\angle AEO + \angle EAO} \right)\)
Mà \(\Delta OEA\) cân do OA = OE nên\(\angle OEA = \angle OAE\).
\( \Rightarrow \angle AMC = \dfrac{1}{2}.2.\angle OEA = \angle OEA\)
\( \Rightarrow \angle AHO = \angle AEO\left( { = \angle AMC} \right)\)
Xét tứ giác OHEA có \(\angle AHO = \angle AEO\)
Mà H, E là 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn OA dưới 2 góc bằng nhau nên OHEA nội tiếp
\( \Rightarrow \angle KAO = \angle KEH\) (cùng chắn cung OH) và \(\angle KOA = \angle KHE\) (cùng chắn cung AE)
Xét \(\Delta KOA\) và \(\Delta KHE\) có:
\(\angle KAO = \angle KEH\left( {cmt} \right)\)
\(\angle KOA = \angle KHE\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta KOA \sim \Delta KHE\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{KO}}{{KH}} = \dfrac{{KA}}{{KE}} \Rightarrow KO.KE = KH.KA\) (đpcm)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
