Cho phương trình \({x^2} - 2mx + {m^2} - m - 2 = 0\) (m là tham số). Tìm giá trị của m để phương

Câu hỏi số 659569:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} - 2mx + {m^2} - m - 2 = 0\) (m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(\dfrac{{{x_1}{x_2} + 1}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {1 + {x_1}{x_2}} \right)}} = \dfrac{1}{6}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:659569

Phương pháp giải

Sử dụng định lí Vi – ét.

Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\) thì

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{S = {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}}\\{P = {x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}}\end{array}} \right.\)

Giải chi tiết

Ta có \(\Delta ' = {m^2} - \left( {{m^2} - m - 2} \right) = {m^2} - {m^2} + m + 2 = m + 2\)

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow m + 2 > 0 \Leftrightarrow m > - 2\)

Vậy \(m > - 2\) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)

Áp dụng hệ thức Viet có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = {m^2} - m - 2\end{array} \right.\)

Để \(\dfrac{{{x_1}{x_2} + 1}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {1 + {x_1}{x_2}} \right)}} = \dfrac{1}{6}.\)

\(\dfrac{{{x_1}{x_2} + 1}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} + 2}} = \dfrac{1}{6}\)

\(\dfrac{{{x_1}{x_2} + 1}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} + 2}} = \dfrac{1}{6}\)

\(\dfrac{{{m^2} - m - 2 + 1}}{{{{(2m)}^2} + 2}} = \dfrac{1}{6}\)

\(\dfrac{{{m^2} - m - 1}}{{4{m^2} + 2}} = \dfrac{1}{6}\)

\(6{m^2} - 6m - 6 = 4{m^2} + 2\)

\(2{m^2} - 6m - 8 = 0\)

\(2\left( {m + 1} \right)\left( {m - 4} \right) = 0\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = - 1\left( {TM} \right)}\\{m = 4\left( {TM} \right)}\end{array}} \right.\)

Vậy m = -1 hoặc m = 4 thỏa mãn bài toán.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link