Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {1;4} \right]\) và \(f'\left( x \right)

Câu hỏi số 673527:

Vận dụng

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {1;4} \right]\) và \(f'\left( x \right) > 0,\;\forall x \in \left[ {1;4} \right]\). Biết \({\left[ {{x^2}f'\left( x \right)} \right]^3} - 2f\left( x \right) = 5,\;\forall x \in \left[ {1;4} \right],\;f\left( 1 \right) = \dfrac{3}{2}\). Giá trị của \(f\left( 4 \right)\) bằng

A. \(\dfrac{{2\sqrt 5 - 3}}{4}\).

B. \(\dfrac{{5\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{2}\).

C. \(\dfrac{{3\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}}{2}\).

D. \(\dfrac{{5\sqrt 5 - 3}}{4}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:673527

Phương pháp giải

Đưa về dạng \(\dfrac{{2f'\left( x \right)}}{{\sqrt[3]{{\left( {2f\left( x \right) + 5} \right)}}}} = \dfrac{2}{{{x^2}}}\) và tính tích phân 2 vế.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{\left[ {{x^2}f'\left( x \right)} \right]^3} - 2f\left( x \right) = 5\\ \Leftrightarrow {\left[ {{x^2}f'\left( x \right)} \right]^3} = 2f\left( x \right) + 5\\ \Leftrightarrow {x^2}f'\left( x \right) = \sqrt[3]{{\left( {2f\left( x \right) + 5} \right)}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2f'\left( x \right)}}{{\sqrt[3]{{\left( {2f\left( x \right) + 5} \right)}}}} = \dfrac{2}{{{x^2}}}\\ \Leftrightarrow \int\limits_1^4 {\dfrac{{2f'\left( x \right)}}{{\sqrt[3]{{\left( {2f\left( x \right) + 5} \right)}}}}} dx = \int\limits_1^4 {\dfrac{2}{{{x^2}}}} dx\\ \Leftrightarrow \left. {\dfrac{3}{2}\sqrt[3]{{{{\left( {2f\left( x \right) + 5} \right)}^2}}}} \right|_1^4 = \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\sqrt[3]{{{{\left( {2f\left( 4 \right) + 5} \right)}^2}}} - \dfrac{3}{2}\sqrt[3]{{{{\left( {2f\left( 1 \right) + 5} \right)}^2}}} = \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\sqrt[3]{{{{\left( {2f\left( 4 \right) + 5} \right)}^2}}} - 6 = \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{{\left( {2f\left( 4 \right) + 5} \right)}^2}}} = 5 \Rightarrow f\left( 4 \right) = \dfrac{{5\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{2}\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.