Hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[ {1;4} \right]$ và \(f'\left( x \right)

Câu hỏi số 673527:

Vận dụng

Hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[ {1;4} \right]$ và $f'\left( x \right) > 0,\;\forall x \in \left[ {1;4} \right]$ . Biết ${\left[ {{x^2}f'\left( x \right)} \right]^3} - 2f\left( x \right) = 5,\;\forall x \in \left[ {1;4} \right],\;f\left( 1 \right) = \dfrac{3}{2}$ . Giá trị của $f\left( 4 \right)$ bằng

$\dfrac{{2\sqrt 5 - 3}}{4}$ .

$\dfrac{{5\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{2}$ .

$\dfrac{{3\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}}{2}$ .

$\dfrac{{5\sqrt 5 - 3}}{4}$ .

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:673527

Phương pháp giải

Đưa về dạng $\dfrac{{2f'\left( x \right)}}{{\sqrt[3]{{\left( {2f\left( x \right) + 5} \right)}}}} = \dfrac{2}{{{x^2}}}$ và tính tích phân 2 vế.

Giải chi tiết

$\begin{array}{l}{\left[ {{x^2}f'\left( x \right)} \right]^3} - 2f\left( x \right) = 5\\ \Leftrightarrow {\left[ {{x^2}f'\left( x \right)} \right]^3} = 2f\left( x \right) + 5\\ \Leftrightarrow {x^2}f'\left( x \right) = \sqrt[3]{{\left( {2f\left( x \right) + 5} \right)}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2f'\left( x \right)}}{{\sqrt[3]{{\left( {2f\left( x \right) + 5} \right)}}}} = \dfrac{2}{{{x^2}}}\\ \Leftrightarrow \int\limits_1^4 {\dfrac{{2f'\left( x \right)}}{{\sqrt[3]{{\left( {2f\left( x \right) + 5} \right)}}}}} dx = \int\limits_1^4 {\dfrac{2}{{{x^2}}}} dx\\ \Leftrightarrow \left. {\dfrac{3}{2}\sqrt[3]{{{{\left( {2f\left( x \right) + 5} \right)}^2}}}} \right|_1^4 = \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\sqrt[3]{{{{\left( {2f\left( 4 \right) + 5} \right)}^2}}} - \dfrac{3}{2}\sqrt[3]{{{{\left( {2f\left( 1 \right) + 5} \right)}^2}}} = \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\sqrt[3]{{{{\left( {2f\left( 4 \right) + 5} \right)}^2}}} - 6 = \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{{\left( {2f\left( 4 \right) + 5} \right)}^2}}} = 5 \Rightarrow f\left( 4 \right) = \dfrac{{5\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{2}\end{array}$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.