Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A,{\rm{ }}AB = a,{\rm{ }}\widehat

Câu hỏi số 673528:

Vận dụng

Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A,{\rm{ }}AB = a,{\rm{ }}\widehat {ABS} = \widehat {ACS} = {90^o}\), góc giữa BC và mặt phẳng \((ABS)\) bằng \({30^o}\). Thể tích hình chóp \(S.ABC\) bằng

A. \(\dfrac{{2{a^3}}}{3}\).

B. \(\dfrac{{{a^3}}}{6}\).

C. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{6}\).

D. \(\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{6}\).

Đáp án đúng là: B

Phương pháp giải

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ S xuống (ABC). Chứng minh ABHC là hình vuông

Trong \(\left( {ABHC} \right)\) kẻ \(HM\parallel BC\), trong \(\left( {SHB} \right)\) kẻ \(HN \bot SB\) \( \Rightarrow \left( {BC,SBA} \right) = \angle HMN\)

Giải chi tiết

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ S xuống (ABC)

Do \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SH\\AB \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHB} \right) \Rightarrow AB \bot HB\)

Tương tự \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot SH\\AC \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SHC} \right) \Rightarrow AC \bot HC\)

\( \Rightarrow ABHC\) là hình vuông

Trong \(\left( {ABHC} \right)\) kẻ \(HM\parallel BC\), trong \(\left( {SHB} \right)\) kẻ \(HN \bot SB \Rightarrow HN \bot \left( {SBA} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {BC,SBA} \right) = \left( {HM,SBA} \right) = \left( {HM,MN} \right) = \angle HMN\)

Giả sử \(SH = x \Rightarrow HN = \dfrac{{ax}}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}\)

\(\begin{array}{l}HM = BC = a\sqrt 2 \\ \Rightarrow \sin HMN = \sin {30^0} = \dfrac{{HN}}{{HM}} = \dfrac{{ax}}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} .a\sqrt 2 }} = \dfrac{x}{{\sqrt {2{a^2} + 2{x^2}} }}\\ \Rightarrow \dfrac{x}{{\sqrt {2{a^2} + 2{x^2}} }} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 2x = \sqrt {2{a^2} + 2{x^2}} \Leftrightarrow 4{x^2} = 2{a^2} + 2{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = {a^2} \Leftrightarrow x = a\end{array}\)

\( \Rightarrow {V_{SABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}a.\dfrac{1}{2}{a^2} = \dfrac{1}{6}{a^3}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:673528

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.