Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Một hình tứ diện đều có hai đỉnh nằm trên

Câu hỏi số 676360:

Vận dụng cao

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Một hình tứ diện đều có hai đỉnh nằm trên đường thẳng \(AC'\), hai đỉnh còn lại nằm trên đường thẳng \(BA'\). Tính thể tích của tứ diện đó.

A. \(\dfrac{{{a^3}}}{{24}}\).

B. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{216}}\).

C. \(\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{{96}}\).

D. \(\dfrac{{\sqrt 6 {a^3}}}{{108}}\). \(\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:676360

Phương pháp giải

Đường vuông góc của tứ diện đều chính là đường vuông góc chung của 2 đường AC’ và BA’

Giải chi tiết

Gọi M, N thuộc AC’ và P, Q thuộc A’C để MPNQ là hình tứ diện đều cạnh x

Gọi E là trung điểm MN, gọi F là trung điểm PQ

Do MPNQ là tứ diện đều nên suy ra EF là đường vuông góc chung của PQ và MN

Hay EF là đường vuông góc chung của AC’ và A’B

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz với A’ là gốc tọa độ, trục Ox trùng A’B’, trục Oy trùng A’D’ và Oz trùng AA’

Khi đó ta có \(A'\left( {0,0,0} \right),B'\left( {1,0,0} \right),C'\left( {1,1,0} \right),B\left( {1,0,1} \right),A\left( {0,0,1} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AC'} \left( {1,1, - 1} \right);\overrightarrow {A'B} \left( {1,0,1} \right);\overrightarrow {AA'} \left( {0,0, - 1} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AC'} ;\overrightarrow {A'B} } \right] = \left( {1, - 2, - 1} \right)\\ \Rightarrow d\left( {AC',A'B} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AC'} ;\overrightarrow {A'B} } \right]\overrightarrow {AA'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AC'} ;\overrightarrow {A'B} } \right]} \right|}} = \dfrac{1}{{\sqrt 6 }} = EF\end{array}\)

Ta có \(EF = \sqrt {E{Q^2} - Q{F^2}} = \sqrt {\dfrac{3}{4}{x^2} - \dfrac{{{x^2}}}{4}} = \dfrac{x}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 6 }} \Rightarrow x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)

\( \Rightarrow {V_{MPNQ}} = \dfrac{{{x^3}}}{{6\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{{108}}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.