Cho biểu thức \(A = \dfrac{{x\sqrt x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\) (với \(\left.

Câu hỏi số 677539:

Vận dụng

Cho biểu thức \(A = \dfrac{{x\sqrt x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\) (với \(\left. {x \ge 0;x \ne 1} \right)\).
a) Rút gọn biểu thức \(A\).
b) Tìm tất cả các số nguyên \(x\) để \(A\) nhận giá trị nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:677539

Phương pháp giải

a) Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn.

b) Tách \(A = 1 + \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}\) từ đó tìm x để A nhận giá trị nguyên.

Giải chi tiết

a) Rút gọn biểu thức \(A\).

\(A = \dfrac{{x\sqrt x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\)

\(A = \dfrac{{x\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\(A = \dfrac{{x\sqrt x + 1 - \left( {x\sqrt x - x - \sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\(A = \dfrac{{x\sqrt x + 1 - x\sqrt x + x + \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\(A = \dfrac{{x + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\(A = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\(A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}.\)

Vậy\(A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}\)với \(x \ge 0;x \ne 1\).

b) Tìm tất cả các số nguyên \(x\) để \(A\) nhận giá trị nguyên.

Ta có \(A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} = \dfrac{{\sqrt x - 1 + 1}}{{\sqrt x - 1}} = 1 + \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}\)

Với x nguyên để A nguyên thì \(1 + \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \sqrt x - 1 \in \left\{ { - 1,1} \right\}\)

\(\sqrt x - 1 = 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 2 \Leftrightarrow x = 4\) (thỏa mãn)

\(\sqrt x - 1 = - 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) (thỏa mãn)

Vậy \(x \in \left\{ {0,4} \right\}\) thì P nguyên.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link