Cho biểu thức \(A = \dfrac{{x\sqrt x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\) (với \(\left.

Câu hỏi số 677539:

Vận dụng

Cho biểu thức \(A = \dfrac{{x\sqrt x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\) (với \(\left. {x \ge 0;x \ne 1} \right)\).
a) Rút gọn biểu thức \(A\).
b) Tìm tất cả các số nguyên \(x\) để \(A\) nhận giá trị nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:677539

Phương pháp giải

a) Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn.

b) Tách \(A = 1 + \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}\) từ đó tìm x để A nhận giá trị nguyên.

Giải chi tiết

a) Rút gọn biểu thức \(A\).

\(A = \dfrac{{x\sqrt x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\)

\(A = \dfrac{{x\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\(A = \dfrac{{x\sqrt x + 1 - \left( {x\sqrt x - x - \sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\(A = \dfrac{{x\sqrt x + 1 - x\sqrt x + x + \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\(A = \dfrac{{x + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\(A = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\(A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}.\)

Vậy\(A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}\)với \(x \ge 0;x \ne 1\).

b) Tìm tất cả các số nguyên \(x\) để \(A\) nhận giá trị nguyên.

Ta có \(A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} = \dfrac{{\sqrt x - 1 + 1}}{{\sqrt x - 1}} = 1 + \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}\)

Với x nguyên để A nguyên thì \(1 + \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \sqrt x - 1 \in \left\{ { - 1,1} \right\}\)

\(\sqrt x - 1 = 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 2 \Leftrightarrow x = 4\) (thỏa mãn)

\(\sqrt x - 1 = - 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) (thỏa mãn)

Vậy \(x \in \left\{ {0,4} \right\}\) thì P nguyên.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link