Cho phương trình \({x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 1 = 0\) (1) với \(m\) là tham số.a) Giải

Câu hỏi số 677540:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 1 = 0\) (1) với \(m\) là tham số.
a) Giải phương trình (1) khi \(m = 5\).
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình (1) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \(\left( {x_1^2 - 2m{x_1} + {m^2}} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) = 4.{\rm{\;}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:677540

Phương pháp giải

a) Thay m = 5 vào phương trình (1) và thực hiện giải.

b) Áp dụng hệ thức vi-ét \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

a) Thay m = 5 vào phương trình (1) ta được:

\({x^2} - \left( {2.5 + 1} \right)x + {5^2} - 1 = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 11x + 24 = 0\,\,\)

Ta có \(\Delta = {\left( { - 11} \right)^2} - 4.1.24 = 25 > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{11 + \sqrt {25} }}{2} = 8\\x = \dfrac{{11 - \sqrt {25} }}{2} = 3\end{array} \right.\)

Vậy với m = 5 phương trình (1) có tập nghiệm \(S = \left\{ {3,8} \right\}\)

b) Ta có \(\Delta = {\left[ { - \left( {2m + 1} \right)} \right]^2} - 4.1.\left( {{m^2} - 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} = 4{m^2} + 4m + 1 - 4{m^2} + 4\\ = 4m + 5\end{array}\)

Để phương trình (1) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\) thì \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow 4m + 5 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - \dfrac{5}{4}\)

Khi đó theo Vi-ét \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 1\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 1\end{array} \right.\)

Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình (1) nên ta có: \({x_1}^2 - \left( {2m + 1} \right){x_1} + {m^2} - 1 = 0\,\,\,\)

\( \Leftrightarrow {x_1}^2 - 2m{x_1} + {m^2} = {x_1} + 1\)

Ta có: \(\left( {{x_1}^2 - 2m{x_1} + {m^2}} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) = 4\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) = 4\\ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1 = 4\\ \Leftrightarrow {m^2} - 1 + 2m + 1 + 1 = 4\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\,\,(TM)\\m = - 3\,\,(KTM)\end{array} \right.\,\end{array}\)

Vậy \(m = 1\) là giá trị cần tìm.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link