Cho các số thực a, b, c sao cho phương trình \(a{x^2} + bx + c + 2023 = 0\) nhận \(x = 1\)là nghiệm. Tìm

Câu hỏi số 677543:

Vận dụng cao

Cho các số thực a, b, c sao cho phương trình \(a{x^2} + bx + c + 2023 = 0\) nhận \(x = 1\)là nghiệm. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P = \sqrt {3{a^2} - 2ab + 3{b^2}} + \sqrt {5{b^2} - 6bc + 5{c^2}} + \sqrt {6{c^2} - 8ca + 6{a^2}} \)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:677543

Giải chi tiết

Phương trình \(a{x^2} + bx + c + 2023 = 0\) nhận \(x = 1\) là nghiệm nên ta có: \(a + b + c + 2023 = 0 \Leftrightarrow a + b + c = - 2023\)

Với mọi \(a,b,c \in \mathbb{R}\) ta có: \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,\,{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0;\,\,{\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}P = \sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2} + 2{{\left( {a - b} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {b + c} \right)}^2} + 4{{\left( {b - c} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {c + a} \right)}^2} + 5{{\left( {c - a} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\, \ge \sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {b + c} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {c + a} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\, = \left| {a + b} \right| + \left| {b + c} \right| + \left| {c + a} \right|\\\,\,\,\,\, \ge \left| {2\left( {a + b + c} \right)} \right| = 2.2023 = 4046\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = \dfrac{{ - 2023}}{3}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4046 khi \(a = b = c = \dfrac{{ - 2023}}{3}\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link