Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và \(BC\) là một dây cung khác đường kính của \(\left( O

Câu hỏi số 677542:

Vận dụng cao

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và \(BC\) là một dây cung khác đường kính của \(\left( O \right),A\) là điểm di động trên cung lớn \(BC\) sao cho \(AC > AB\left( {A \ne B} \right)\). Gọi \(D\) là chân đường phân giác trong góc \(\angle {BAC}\) \(\left( {D \in BC} \right)\). Đường thẳng đi qua \(O\) và vuông góc với \(BC\) cắt đường thẳng \(AD\) tại \(E\). Kẻ \(EH,EK\) lần lượt vuông góc với \(AB\) và \(AC\left( {H \in AB,K \in AC} \right)\).
a) Chứng minh \(EHAK\) là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi \(F\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\). Chứng minh điểm \(E\) thuộc đường tròn \(\left( O \right)\) và \(E\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCF\).
c) Gọi \(M,N,I\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(AE,BE\) và \(BC\). Chứng minh \(BMDN\) là tứ giác nội tiếp. Xác định vị trí điểm \(A\) để bốn điểm \(H,N,I,K\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:677542

Giải chi tiết

a) Chứng minh EHAK là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác EHAK có:

\(\begin{array}{l}\angle AHE = {90^0}\,\,\left( {do\,\,EH \bot AB} \right)\\\angle AKE = {90^0}\,\,\left( {do\,\,CEK \bot AC} \right)\\ \Rightarrow \angle AHE + \angle AKE = {90^0} + {90^0} = {180^0}\end{array}\)

Mà hai đỉnh H, K là hai đỉnh đối diện nên EHAK là tứ giác nội tiếp (dhnb).

b) Gọi F là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh điểm E thuộc đường tròn (O) và E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCF.

Chứng minh điểm E thuộc đường tròn (O).

Vì E thuộc phân giác của góc \(\angle BAC\) nên \(EH = EK\) (tính chất).

Vì OE qua O và vuông góc với BC \( \Rightarrow OE\) đi qua trung điểm của BC (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung) \( \Rightarrow EB = EC\) (tính chất).

Xét tam giác vuông EBH và tam giác vuông ECK có:

\(\begin{array}{l}\angle EHB = \angle EKC = {90^0}\\EB = EC\,\,\left( {cmt} \right)\\EH = EK\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta EBH = \Delta ECK\) (cạnh góc vuông – cạnh huyền)

\( \Rightarrow \angle EBH = \angle ECK = \angle ACE\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\angle EBH + \angle ABE = {180^0}\) (kề bù)

\( \Rightarrow \angle ACE + \angle ABE = {180^0}\)

Mà B, C là hai đỉnh đối nhau nên ABEC là tứ giác nội tiếp (dhnb).

Lại có A, B, C cùng thuộc (O) nên ABEC nội tiếp đường tròn (O).

Vậy E thuộc đường tròn (O) (đpcm).

Chứng minh E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCF.

Ta có: \(\angle EBF = \angle EBD + \angle DBF\).

Mà \(\angle EBD = \angle EBC = \angle EAC = \angle BAF\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC và AE là phân giác của góc A).

\(\angle DBF = \angle ABF\) (do F là tâm đường nội tiếp tam giác ABC nên BF là phân giác của \(\angle ABC\))

\( \Rightarrow \angle EBF = \angle BAF + \angle ABF = \angle EFB\) (góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề với nó).

\( \Rightarrow \Delta EBF\) cân tại E (định nghĩa) \( \Rightarrow EB = EF\) (tính chất).

Mà \(EB = EC\,\,\left( {cmt} \right)\) \( \Rightarrow EB = EC = EF\).

Vậy E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCF (đpcm).

Xác định vị trí điểm A để bốn điểm H, N, I, K thẳng hàng.

Xét tứ giác BHEI có: \(\angle BHE + \angle BIE = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà hai đỉnh H, I đối nhau nên BHEI là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm N đường kính BE (dhnb)

\( \Rightarrow \angle BIH = \angle BEH\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BH)

Xét tứ giác CEIK có: \(\angle CIE = \angle CKE = {90^0}\)

Mà I, K kề nhau cùng nhìn EC dưới hai góc bằng nhau nên CEIK là tứ giác nội tiếp (dhnb)

\( \Rightarrow \angle KIC = \angle KEC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KC)

Mà \(\Delta EBH = \Delta ECK\) (theo ý b) nên \(\angle BEH = \angle KEC\) (hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow \angle BIH = \angle KIC\).

Mà \(\angle BIH + \angle HIC = {180^0}\) (kề bù) \( \Rightarrow \angle KIC + \angle HIC = {180^0} \Rightarrow \angle HIK = {180^0}\)

=> H, I, K thẳng hàng.

Để H, N, I, K thẳng hàng thì cần H, N, I thẳng hàng.

Vì BHEI là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm N đường kính BE (cmt) nên NH = NI.

Mà H, N, I thẳng hàng => N là trung điểm của HI.

Mà N lại là trung điểm của BE

=> BHEI là hình bình hành (dhnb).

Lại có \(\angle BHE = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\) => BHEI là hình chữ nhật (dhnb)

\( \Rightarrow \angle HBI = {90^0} \Rightarrow \angle ABC = {90^0}\).

\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại B.

Vậy A nằm trên đường tròn (O) sao cho \(\Delta ABC\) vuông tại B.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link