Chứng minh rằng:a. \({10^{2023}} + 2024\) chia hết cho 3;b. \({n^3} + 2024n + 2\) không chia hết cho

Câu hỏi số 679981:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng:
a. \({10^{2023}} + 2024\) chia hết cho 3;
b. \({n^3} + 2024n + 2\) không chia hết cho \({10^{2023}} + 2024\) với mọi số tự nhiên \(n\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:679981

Phương pháp giải

Áp dụng dấu hiệu chia hết cho 3 để phân tích và giải bài toán.

Giải chi tiết

a. Chứng minh rằng \({10^{2023}} + 2024\) chia hết cho 3

Vì 10 chia cho 3 dư 1 nên \({10^{2023}}\) chia cho 3 dư 1
2024 chia cho 3 dư 2.
Vậy \({10^{2023}} + 2024\) chia hết cho 3 (1)
b. Chứng minh rằng \({n^3} + 2024n + 2\) không chia hết cho \({10^{2023}} + 2024\) với mọi số tự nhiên \(n\).

\({n^3} + 2024n + 2 = {n^3} - n + 2025n + 2\)\(\; = n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right) + 2025n + 2\)

Với mọi số tự nhiên \(n\) thì \(n - 1,n,n + 1\) là 3 số nguyên liên tiếp nên trong 3 số đó có đúng một số chia hết cho 3 .
Do đó \(n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên \(n\).
Vì 2025 chia hết cho 3 nên \(2025n\) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên \(n\).
Do đó \(n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right) + 2025n + 2\) chia cho 3 dư 2 với mọi số tự nhiên \(n\).
Từ (1), (2) suy ra \({n^3} + 2024n + 2\) không chia hết cho \({10^{2023}} + 2024\) với mọi số tự nhiên \(n\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link