Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên \(n\) để cả hai số \(n\) và \(\dfrac{{n - 10}}{3}\)

Câu hỏi số 679982:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên \(n\) để cả hai số \(n\) và \(\dfrac{{n - 10}}{3}\) đều là các số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:679982

Phương pháp giải

Chứng minh phản chứng, dùng phương pháp đồng dư modulo.

Giải chi tiết

Giả sử, tồn tại số tự nhiên \(n\) để cả hai số \(n\) và \(\dfrac{{n - 10}}{3}\) đều là các số chính phương.
Khi đó, tồn tại \(k,m \in \mathbb{N}\) sao cho:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{n = {k^2}}\\{\dfrac{{n - 10}}{3} = {m^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{n = {k^2}}\\{n - 10 = 3{m^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{n = {k^2}}\\{n = 10 + 3{m^2}}\end{array}.} \right.} \right.} \right.\)

Do đó \({k^2} = 10 + 3{m^2} \Leftrightarrow {k^2} - 3{m^2} = 10\).
Suy ra \({k^2} \equiv 3{m^2}\left( {{\rm{mod}}5} \right)\). (2)
Ta có nhận xét sau: Một số chính phương khi chia cho 5 thì số dư chỉ có thể là một trong các số: \(0;1;\) hoặc 4 .
Từ đó, suy ra \(3{m^2}\) chia cho 5 thì số dư chỉ có thể là một trong các số: \(0;3;2\). (3) \({k^2}\) chia cho 5 thì số dư chỉ có thể là một trong các số: \(0;1;4\). (4)
Từ (2), (3), (4) suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{k^2} \equiv 0\left( {{\rm{mod}}5} \right)}\\{3{m^2} \equiv 0\left( {{\rm{mod}}5} \right)}\end{array}} \right.\).
Vì 3 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau nên từ \(3{m^2} \equiv 0\left( {{\rm{mod}}5} \right)\) suy ra \({m^2} \equiv 0\left( {{\rm{mod}}5} \right)\).
Vì 5 là số nguyên tố nên từ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{k^2} \equiv 0\left( {{\rm{mod}}5} \right)}\\{{m^2} \equiv 0\left( {{\rm{mod}}5} \right)}\end{array}} \right.\) suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{k \equiv 0\left( {{\rm{mod}}5} \right)}\\{m \equiv 0\left( {{\rm{mod}}5} \right)}\end{array}} \right.\).
Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{k^2} \equiv 0\left( {{\rm{mod}}25} \right)}\\{{m^2} \equiv 0\left( {{\rm{mod}}25} \right)}\end{array}} \right.\) suy ra \({k^2} - 3{m^2} \equiv 0\left( {{\rm{mod}}25} \right)\).
Từ (1), (5) suy ra \(10 \equiv 0\left( {{\rm{mod}}25} \right)\). Điều này vô lý.
Do đó, điều giả sử là sai.
Vậy không tồn tại số tự nhiên \(n\) để cả hai số \(n\) và \(\dfrac{{n - 10}}{3}\) đều là các số chính phương.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link