3.1. Tìm các bộ ba số nguyên dương \(\left( {x;\,y;z} \right)\) thỏa mãn đẳng thức dưới

Câu hỏi số 681057:

Vận dụng cao

3.1. Tìm các bộ ba số nguyên dương \(\left( {x;\,y;z} \right)\) thỏa mãn đẳng thức dưới đây:

\({x^3} + {y^3} + {x^2}\left( {3y + 2z} \right) + {y^2}\left( {3x + 2z} \right) + {z^2}\left( {x + y} \right) + 4xyz = 2023\).

3.2. Trên mặt phẳng cho \(2 \times 2024\) điểm phân biệt, trong đó không có bất kỳ 3 điểm nào thẳng hàng. Người ta tô \(2024\) điểm trong các điểm đã cho bằng màu đỏ và tô \(2024\) điểm còn lại bằng màu xanh. Chứng minh rằng, bao giờ cũng tồn tại một cách nối tất cả các điểm màu đỏ với tất cả các điểm màu xanh bởi \(2024\)đoạn thẳng (mỗi đoạn thẳng có hai điểm đầu mút là một cặp điểm đỏ - xanh) sao cho hai đoạn thẳng bất kỳ trong đó không có điểm chung.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:681057

Giải chi tiết

3.1. \({x^3} + {y^3} + {x^2}\left( {3y + 2z} \right) + {y^2}\left( {3x + 2z} \right) + {z^2}\left( {x + y} \right) + 4xyz = 2023\)

\( \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + 3{x^2}y + 2{x^2}z + 3x{y^2} + 2{y^2}z + {z^2}x + {z^2}y + 4xyz = 2023\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3}} \right) + \left( {2{x^2}z + 2{y^2}z + 4xyz} \right) + \left( {{z^2}x + {z^2}y} \right) = 2023\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^3} + 2z{\left( {x + y} \right)^2} + {z^2}\left( {x + y} \right) = 2023\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} + 2z\left( {x + y} \right) + {z^2}} \right] = 2023\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + y} \right){\left( {x + y + z} \right)^2} = {7.17^2}\)

Vì \(x,y,z\) nguyên dương nên ta có \(x + y + z > x + y > 0\). Do đó:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 7\\x + y + z = 17\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 7\\z = 10\end{array} \right.\)

Có \(x + y = 7\)mà \(x,y\) nguyên dương nên ta có

KL: Các bộ số cần tìm là \(\left( {1;6;10} \right)\);\(\left( {2;5;10} \right)\);\(\left( {3;4;10} \right)\);\(\left( {4;3;10} \right)\);\(\left( {5;2;10} \right)\);\(\left( {6;1;10} \right)\)

3.2. Xét tất cả các cách nối \(2024\) cặp điểm (đỏ với xanh) bằng \(2024\)đoạn thẳng. Các cách nối như vậy luôn luôn tồn tại và do chỉ có \(2024\) cặp điểm nên số tất cả các cách nối như vậy là hữu hạn.

Do đó, ắt tìm được một cách nối có tổng độ dài các đoạn thẳng là ngắn nhất.

Ta chứng minh rằng đây là cách nối phải tìm.

Thật vậy; giả sử ngược lại ta có hai đoạn thẳng \(AX\)và \(BY\)mà cắt nhau tại điểm \(O\) (Giả sử \(A\) và \(B\) tô màu đỏ, còn \(X\) và \(Y\) tô màu xanh). Khi đó, nếu ta thay đoạn thẳng \(AX\)và \(BY\) bằng hai đoạn thẳng \(AY\) và \(BX\), các đoạn khác giữ nguyên thì ta có cách nối này có tính chất:

\(AY + BX < \left( {AO + OY} \right) + \left( {BO + OX} \right) = \left( {AO + OX} \right) + \left( {BO + OY} \right)\)\( \Rightarrow AY + BX < AX + BY\)

Như vậy; việc thay hai đoạn thẳng \(AX\)và \(BY\)bằng hai đoạn thẳng \(AY\) và \(BX\), ta nhận được một cách nối mới có tổng độ dài các đoạn thẳng là nhỏ hơn. Vô lý, vì trái với giả thiết là đã chọn một cách nối có tổng các độ dài là bé nhất.

Điều vô lý đó chứng tỏ: Cách nối có tổng độ dài các đoạn thẳng là ngắn nhất là không có điểm chung.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link