Biết rằng bất phương trình \(\dfrac{{48}}{{{{\left( {5{x^2} + 3} \right)}^2}}} + {\log _2}\dfrac{{5{x^2} +

Câu hỏi số 688048:

Vận dụng

Biết rằng bất phương trình \(\dfrac{{48}}{{{{\left( {5{x^2} + 3} \right)}^2}}} + {\log _2}\dfrac{{5{x^2} + 3}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} \le 2 + \dfrac{3}{{1 - {x^2}}}\) có tập nghiệm \(S = \left( { - 1;1} \right)\backslash \left( { - \dfrac{{\sqrt { - a + b\sqrt {11} } }}{c};\dfrac{{\sqrt { - a + b\sqrt {11} } }}{c}} \right)\) với \(a,b,c\) nguyên dương, \(\dfrac{a}{{{c^2}}},\,\,\dfrac{b}{{{c^2}}}\) tối giản. Tính \(a + b + c\)

A. 36.

B. 25.

C. 49.

D. 64.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:688048

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x \in \left( { - 1;1} \right)\)

Bất phương trình đã cho tương đương

\(\begin{array}{l}\dfrac{{3.16}}{{{{\left( {5{x^2} + 3} \right)}^2}}} + {\log _2}\left( {\dfrac{{5{x^2} + 3}}{{4\sqrt {1 - {x^2}} }}} \right) \le \dfrac{3}{{1 - {x^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3.16}}{{{{\left( {5{x^2} + 3} \right)}^2}}} + {\log _2}\left( {\dfrac{{5{x^2} + 3}}{4}.\dfrac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} \right) \le \dfrac{3}{{1 - {x^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3.16}}{{{{\left( {5{x^2} + 3} \right)}^2}}} + {\log _2}\left( {\dfrac{{5{x^2} + 3}}{4}} \right) - {\log _2}\left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right) \le \dfrac{3}{{1 - {x^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{3.4}^2}}}{{{{\left( {5{x^2} + 3} \right)}^2}}} + {\log _2}\left( {\dfrac{{5{x^2} + 3}}{4}} \right) \le \dfrac{3}{{1 - {x^2}}} + {\log _2}\left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét \(f\left( t \right) = {\log _2}t + \dfrac{3}{{{t^2}}},\,\,t \in \left( {0;1} \right)\)

\(f'\left( t \right) = \dfrac{{ - 6}}{{{t^3}}} + \dfrac{1}{{t\ln 2}} < 0,\,\,\forall t \in \left( {0;1} \right)\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow \dfrac{{5{x^2} + 3}}{4} \ge \sqrt {1 - {x^2}} \\ \Leftrightarrow 25{x^4} + 46{x^2} - 7 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le - \dfrac{{\sqrt { - 23 + 8\sqrt {11} } }}{5}\\x \ge \dfrac{{\sqrt { - 23 + 8\sqrt {11} } }}{5}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(a = 23,\,\,b = 8,\,\,c = 5 \Rightarrow a + b + c = 36\)

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.