Gọi \({S_k}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(\left( P \right):{x^2} - 4x + 3\) và

Câu hỏi số 688049:

Vận dụng cao

Gọi \({S_k}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(\left( P \right):{x^2} - 4x + 3\) và đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\) và có hệ số góc bằng \(k\), với \(k \in \mathbb{R}\). Biết rằng khi \(k\) thay đổi, giá trị nhỏ nhất của \({S_k}\) bằng \(a + b\sqrt 3 \), trong đó \(a,b\) là các số nguyên. Tính \({a^2} + 3b\)

A. 20.

B. 7.

C. 12.

D. 16.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:688049

Giải chi tiết

Phương trình đường thẳng \(\Delta :\,\,y = k\left( {x - 1} \right) + 3\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} - 4x + 3 = k\left( {x - 1} \right) + 3 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {k + 4} \right)x + k = 0\)

\(\Delta = {\left( {k + 4} \right)^2} - 4k = {k^2} + 4k + 16 > 0,\,\,\forall k \in \mathbb{R}\)

Khi đó phương trình có 2 nghiệm \({x_1} = \dfrac{{x + 4 - \sqrt \Delta }}{2},\,\,{x_2} = \dfrac{{x + 4 + \sqrt \Delta }}{2} \Rightarrow {x_2} - {x_1} = \sqrt \Delta = \sqrt {{k^2} + 4k + 16} \)

Hơn nữa theo định lí Viete ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = k + 4\\{x_1}{x_2} = k\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_k} = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {k\left( {x - 1} \right) + 3 - \left( {{x^2} - 4x + 3} \right)} \right)dx} \\ = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( { - {x^2} + \left( {k + 4} \right)x - k} \right)dx} \\ = \left. {\left( { - \dfrac{{{x^3}}}{3} + \left( {k + 4} \right)\dfrac{{{x^2}}}{2} - kx} \right)} \right|_{{x_1}}^{{x_2}}\\ = \dfrac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{3}\left( { - x_2^2 - {x_1}{x_2} - x_1^2} \right) + \dfrac{{\left( {k + 4} \right)}}{2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right) - k\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\\ = \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {\dfrac{1}{3}\left( { - x_2^2 - {x_1}{x_2} - x_1^2} \right) + \dfrac{{{{\left( {k + 4} \right)}^2}}}{2} - k} \right)\\ = \dfrac{{{{\left( {{k^2} + 4k + 16} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}{6} \ge \dfrac{{{{12}^{\frac{3}{2}}}}}{6} = 2\sqrt 3 \end{array}\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(k = - 2\)

Vậy \(a = 0,\,\,b = 4 \Rightarrow {a^2} + 3b = 12\)

Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.