Tìm phân số lớn nhất sao cho khi chia các phân số

Câu hỏi số 688466:

Vận dụng cao

Tìm phân số lớn nhất sao cho khi chia các phân số \(\dfrac{{28}}{{15}};\dfrac{{21}}{{10}};\dfrac{{49}}{{84}}\) cho nó ta đều được thương là các số tự nhiên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:688466

Phương pháp giải

Quy về bài toán tìm ƯCLN và BCNN.

Giải chi tiết

Gọi phân số cần tìm là \(\dfrac{a}{b}\,\,\left( {a,b \in {N^{\rm{*}}},\left( {a,b} \right) = 1} \right)\)
Khi đó: \(\dfrac{{28}}{{15}}:\dfrac{a}{b} = \dfrac{{28b}}{{15a}};\,\,\,\dfrac{{21}}{{10}}:\dfrac{a}{b} = \dfrac{{21\;b}}{{10a}};\,\,\,\dfrac{{49}}{{84}}:\dfrac{a}{b} = \dfrac{{49\;b}}{{84a}} = \dfrac{{7\;b}}{{12a}}\)

Vì chia các phân số \(\dfrac{{28}}{{15}};\dfrac{{21}}{{10}};\dfrac{{49}}{{84}}\) cho \(\dfrac{a}{b}\) ta đều được thương là các số tự nhiên nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{28b \vdots 15a\,\,\,\,(1)}\\{21b \vdots 10a\,\,\,\,(2)}\\{7b \vdots 12a\,\,\,\,\,\,(3)}\end{array}} \right.\)

Vì \(\left( {a,b} \right) = 1\) và \(\left( {28,15} \right) = 1\) nên từ \((1) \Rightarrow b \vdots 15\) và \(28 \vdots a\,\,(4)\)

Vì \(\left( {a,b} \right) = 1\) và \(\left( {21,10} \right) = 1\) nên từ \((2) \Rightarrow b \vdots 10\) và \(21 \vdots a\,\,(5)\)

Vì \(\left( {a,b} \right) = 1\) và \(\left( {7,12} \right) = 1\) nên từ \((3) \Rightarrow b \vdots 12\) và \(7 \vdots a\,\,(6)\)

Từ (4), (5) và (6) \( \Rightarrow b \in BC\left( {15,10,12} \right)\) và \(a \in UC\left( {28,21,7} \right)\)
Để \(\dfrac{a}{b}\) lớn nhất thì \({\rm{a}}\) lớn nhất và \({\rm{b}}\) nhỏ nhất

\( \Rightarrow {\rm{a}} = {\rm{U}}CLN\left( {28,21,7} \right)\) và \(b = {\rm{BCNN}}\left( {15,10,12} \right)\)

\( \Rightarrow\) a = 7 và b = 60

Vậy phân số cần tìm là \(\dfrac{7}{{60}}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link