Cho \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số chính phương. Chứng minh rằng \(\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1}

Câu hỏi số 688619:

Vận dụng cao

Cho \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số chính phương. Chứng minh rằng \(\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\left( {z + 1} \right)\) luôn viết được dưới dạng tổng của hai số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:688619

Giải chi tiết

Vì \(x;\,\,y;\,\,z\) là các số chính phương ta viết thành \(x = {a^2};\,\,y = {b^2};\,\,z = {c^2}\,\left( {a;\,\,b;\,\,c\, \in Z} \right)\)

Ta có:

\(\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right) = \left( {{a^2}{b^2} + {a^2} + {b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right) = \left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} + {{\left( {ab - 1} \right)}^2}} \right]\left( {{c^2} + 1} \right)\)

\( = \left[ {{{\left( {ac + bc} \right)}^2} + {{\left( {ab - 1} \right)}^2}} \right] + \left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} + {{\left( {abc - c} \right)}^2}} \right]\)

Áp dụng các đẳng thức \({x^2} + {y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy\) và \({x^2} + {y^2} = {\left( {x - y} \right)^2} + 2xy\) có:

Thứ 1: \({\left( {ac + bc} \right)^2} + {\left( {ab - 1} \right)^2} = {\left( {ab + bc + ca - 1} \right)^2} - 2\left( {ac + bc} \right)\left( {ab - 1} \right)\)

\( = {\left( {ab + bc + ca - 1} \right)^2} - 2\left( {{a^2}bc + {b^2}ac - ac - bc} \right)\)

Thứ 2: \({\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {abc - c} \right)^2} = {\left( {a + b + c - abc} \right)^2} + 2\left( {a + b} \right)\left( {abc - c} \right)\)

\( = {\left( {a + b + c - abc} \right)^2} + 2\left( {{a^2}bc + {b^2}ac - ac - bc} \right)\)

\( \Rightarrow {\left( {ac + bc} \right)^2} + {\left( {ab - 1} \right)^2} + {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {abc - c} \right)^2} = {\left( {ab + bc + ca - 1} \right)^2} + {(a + b + c - abc)^2}\)

Vậy \(\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\left( {z + 1} \right)\) là tổng của hai số chính phương.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link