Cho \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số chính phương. Chứng minh rằng \(\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1}

Câu hỏi số 688619:

Vận dụng cao

Cho \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số chính phương. Chứng minh rằng \(\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\left( {z + 1} \right)\) luôn viết được dưới dạng tổng của hai số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:688619

Giải chi tiết

Vì \(x;\,\,y;\,\,z\) là các số chính phương ta viết thành \(x = {a^2};\,\,y = {b^2};\,\,z = {c^2}\,\left( {a;\,\,b;\,\,c\, \in Z} \right)\)

Ta có:

\(\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right) = \left( {{a^2}{b^2} + {a^2} + {b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right) = \left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} + {{\left( {ab - 1} \right)}^2}} \right]\left( {{c^2} + 1} \right)\)

\( = \left[ {{{\left( {ac + bc} \right)}^2} + {{\left( {ab - 1} \right)}^2}} \right] + \left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} + {{\left( {abc - c} \right)}^2}} \right]\)

Áp dụng các đẳng thức \({x^2} + {y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy\) và \({x^2} + {y^2} = {\left( {x - y} \right)^2} + 2xy\) có:

Thứ 1: \({\left( {ac + bc} \right)^2} + {\left( {ab - 1} \right)^2} = {\left( {ab + bc + ca - 1} \right)^2} - 2\left( {ac + bc} \right)\left( {ab - 1} \right)\)

\( = {\left( {ab + bc + ca - 1} \right)^2} - 2\left( {{a^2}bc + {b^2}ac - ac - bc} \right)\)

Thứ 2: \({\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {abc - c} \right)^2} = {\left( {a + b + c - abc} \right)^2} + 2\left( {a + b} \right)\left( {abc - c} \right)\)

\( = {\left( {a + b + c - abc} \right)^2} + 2\left( {{a^2}bc + {b^2}ac - ac - bc} \right)\)

\( \Rightarrow {\left( {ac + bc} \right)^2} + {\left( {ab - 1} \right)^2} + {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {abc - c} \right)^2} = {\left( {ab + bc + ca - 1} \right)^2} + {(a + b + c - abc)^2}\)

Vậy \(\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\left( {z + 1} \right)\) là tổng của hai số chính phương.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link