a) Chứng minh giá trị của biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{2 + \sqrt a }}{{a + 2\sqrt a + 1}} -

Câu hỏi số 689723:

Vận dụng

a) Chứng minh giá trị của biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{2 + \sqrt a }}{{a + 2\sqrt a + 1}} - \dfrac{{\sqrt a - 2}}{{a - 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt a }}{{a\sqrt a + a - \sqrt a - 1}}\)
không phụ thuộc vào giá trị của a, với \(a > 0\) và \(a \ne 1\).

b) Cho a, b, c là ba số nguyên dương thỏa mãn \(\dfrac{4}{a} + \dfrac{2}{b} = \dfrac{1}{c}\). Chứng minh \(Q = {a^2} + 4{b^2} + 16{c^2}\) là một số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:689723

Phương pháp giải

a) Rút gọn biểu thức.

b) Đưa biểu thức Q về dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu.

Giải chi tiết

a) Với \(a > 0,a \ne 1\) ta có:

\(P = \left[ {\dfrac{{2 + \sqrt a }}{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{{\sqrt a - 2}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}} \right]:\dfrac{{\sqrt a }}{{\left( {a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}\)

\( = \left[ {\dfrac{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right) - \left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right){{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}}}} \right].\dfrac{{\left( {a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a }}\)

\( = \left[ {\dfrac{{2\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a - 1} \right){{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}}}} \right].\dfrac{{\left( {\sqrt a - 1} \right){{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt a }} = 2.\)

Vậy giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của a.

b) Ta có \(\dfrac{4}{a} + \dfrac{2}{b} = \dfrac{1}{c} \Leftrightarrow ab = 2ac + 4bc \Leftrightarrow ab - 2ac - 4bc = 0.\)

Khi đó \(Q = {a^2} + 4{b^2} + 16{c^2} = {a^2} + 4{b^2} + 16{c^2} + 4\left( {ab - 2ac - 4bc} \right)\)

\( = {(a + 2b - 4c)^2}\) là một số chính phương.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link