Cho \(a,b,c\) là các số thực dương không nhỏ hơn \(1.\) Chứng minh: \(\dfrac{{\sqrt {ab - 1} }}{{b + c}}

Câu hỏi số 690382:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c\) là các số thực dương không nhỏ hơn \(1.\)

Chứng minh: \(\dfrac{{\sqrt {ab - 1} }}{{b + c}} + \dfrac{{\sqrt {bc - 1} }}{{c + a}} + \dfrac{{\sqrt {ca - 1} }}{{a + b}} \le \dfrac{{a + b + c}}{4}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:690382

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy.

Giải chi tiết

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có \(b + c \ge 2\sqrt {bc} \)

Suy ra \(\dfrac{{\sqrt {ab - 1} }}{{b + c}} \le \dfrac{{\sqrt {ab - 1} }}{{2\sqrt {bc} }} = \dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{{ab - 1}}{{bc}}} \)

Mà \(\dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{{ab - 1}}{{bc}}} = \dfrac{1}{2}\sqrt {\left( {a - \dfrac{1}{b}} \right)\dfrac{1}{c}} \le \dfrac{1}{4}\left( {a - \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)\)

Suy ra \(\dfrac{{\sqrt {ab - 1} }}{{b + c}} \le \dfrac{1}{4}\left( {a - \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)\) (1)

Tương tự, ta có \(\dfrac{{\sqrt {bc - 1} }}{{c + a}} \le \dfrac{1}{4}\left( {b - \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{a}} \right)\) (2)

và \(\dfrac{{\sqrt {ca - 1} }}{{a + b}} \le \dfrac{1}{4}\left( {c - \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)\)(3)

Cộng vế theo vế (1), (2) và (3), ta được đpcm.

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c = \sqrt 2 .\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link