Cho hai số thực dương \(a\) và \(b\) thỏa mãn \(a + b = 2\). Chứng minh \(\dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + 1}} +

Câu hỏi số 693133:

Vận dụng cao

Cho hai số thực dương \(a\) và \(b\) thỏa mãn \(a + b = 2\).

Chứng minh \(\dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + 1}} + \dfrac{2}{{3ab}} \ge 1\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:693133

Phương pháp giải

Từ đề bài ta có \({a^2} + {b^2} = {(a + b)^2} - 2ab = 4 - 2ab\).

Khi đó bài toán trở thành chứng minh \(\dfrac{1}{{5 - 2ab}} + \dfrac{2}{{3ab}} \ge 1\).

Giải chi tiết

Ta có: \({a^2} + {b^2} = {(a + b)^2} - 2ab = 4 - 2ab\)

\(VT = \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + 1}} + \dfrac{2}{{3ab}}\)

\( = \dfrac{1}{{5 - 2ab}} + \dfrac{2}{{3ab}}\)

Ta cần chứng minh \(\dfrac{1}{{5 - 2ab}} + \dfrac{2}{{3ab}} \ge 1\)

\( \Leftrightarrow {\rm{\;}}3ab + 2\left( {5 - 2ab} \right) \ge \left( {5 - 2ab} \right) \cdot 3ab\)

\( \Leftrightarrow 3ab + 10 - 4ab \ge 15ab - 6{a^2}{b^2}\)

\( \Leftrightarrow 6{a^2}{b^2} - 16ab + 10 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow 3{a^2}{b^2} - 8ab + 5 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {ab - 1} \right)\left( {3ab - 5} \right) \ge 0\) (luôn đúng)

Vì \(ab \le \dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{4} = 1\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ab - 1 \le 0}\\{3ab \le 5}\end{array}} \right.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link