Cho hai số thực dương \(a\) và \(b\) thỏa mãn \(a + b = 2\). Chứng minh \(\dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + 1}} +

Câu hỏi số 693133:

Vận dụng cao

Cho hai số thực dương \(a\) và \(b\) thỏa mãn \(a + b = 2\).

Chứng minh \(\dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + 1}} + \dfrac{2}{{3ab}} \ge 1\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:693133

Phương pháp giải

Từ đề bài ta có \({a^2} + {b^2} = {(a + b)^2} - 2ab = 4 - 2ab\).

Khi đó bài toán trở thành chứng minh \(\dfrac{1}{{5 - 2ab}} + \dfrac{2}{{3ab}} \ge 1\).

Giải chi tiết

Ta có: \({a^2} + {b^2} = {(a + b)^2} - 2ab = 4 - 2ab\)

\(VT = \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + 1}} + \dfrac{2}{{3ab}}\)

\( = \dfrac{1}{{5 - 2ab}} + \dfrac{2}{{3ab}}\)

Ta cần chứng minh \(\dfrac{1}{{5 - 2ab}} + \dfrac{2}{{3ab}} \ge 1\)

\( \Leftrightarrow {\rm{\;}}3ab + 2\left( {5 - 2ab} \right) \ge \left( {5 - 2ab} \right) \cdot 3ab\)

\( \Leftrightarrow 3ab + 10 - 4ab \ge 15ab - 6{a^2}{b^2}\)

\( \Leftrightarrow 6{a^2}{b^2} - 16ab + 10 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow 3{a^2}{b^2} - 8ab + 5 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {ab - 1} \right)\left( {3ab - 5} \right) \ge 0\) (luôn đúng)

Vì \(ab \le \dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{4} = 1\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ab - 1 \le 0}\\{3ab \le 5}\end{array}} \right.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link