Cho tam giác \(ABC\,\,(AB > AC)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Gọi \(M\) là trung điểm
Cho tam giác \(ABC\,\,(AB > AC)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Gọi \(E,F\) lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ \(M\) đến các đường thẳng \(AB,AC\).
1) Chứng minh bốn điểm \(A,E,M,F\) cùng thuộc một đường tròn.
2) Đường thẳng \(AM\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(K\). Chứng minh \(\angle {KBC} = \angle {MEF}\) và \(BC.ME = EF.BK\).
3) Gọi \(J\) là trung điểm của \(EF\). Chứng minh \(AO\) song song với \(JM\).
Quảng cáo
1) Ta có:
\(\angle {AEM} = 90^\circ \) (vì \(ME \bot AB\) tại E)
\(\angle {AFM} = 90^\circ \) (vì \(MF \bot AC\) tại F)
Khi đó \(\angle {AEM} + \angle {AFM} = 180^\circ \)
Vậy tứ giác AEMF có tổng 2 góc đối bằng \(180^\circ \) nên là tứ giác nội tiếp hay bốn điểm \(A,E,M,F\) cùng thuộc một đường tròn.
2) +) Vì AEMF là tứ giác nội tiếp nên \(\angle {MEF} = \angle {MAF}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung) hay \(\angle {MEF} = \angle {KAC}\) (vì \(K \in AM,\,\,C \in AF\)).
Xét đường tròn (O) có: \(\angle {KBC} = \angle {KAC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KC).
Vậy \(\angle {KBC} = \angle {MEF}\) (vì cùng bằng \(\angle {KAC}\)).
+) Vì AEMF là tứ giác nội tiếp nên \(\angle {EAM} = \angle {EFM}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung) hay \(\angle {BAK} = \angle {EFM}\) (vì \(B \in AE,\,\,K \in AM\)).
Xét đường tròn (O) có: \(\angle {BAK} = \angle {BCK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KB).
Vậy \(\angle {BCK} = \angle {EFM}\) (vì cùng bằng \(\angle {BAK}\)).
Xét hai tam giác BCK và EFM có:
\(\angle {KBC} = \angle {MEF}\) (cmt)
\(\angle {BCK} = \angle {EFM}\) (cmt)
Suy ra \(\Delta BCK\)~\(\Delta EFM\) (g.g)
\( \Rightarrow \dfrac{{BC}}{{EF}} = \dfrac{{BK}}{{EM}}\) hay \(BC.ME = EF.BK\) (đpcm).
3) Ta có
\(\angle {OAK} = \angle {BAK} - \angle {BAO}\)
\( = \angle {BAM} - \left( {\dfrac{{\angle {ABC} - \angle {AOB}}}{2}} \right)\) (tam giác AOB cân)
\( = \angle {BAM} - \left( {90^\circ - \angle {ACB}} \right)\)
\( = \angle {ACB} + \angle {BAM} - 90^\circ \)
\( = \angle {ACB} + \angle {EFM} - 90^\circ \)
\( = \angle {ACB} - \left( {90^\circ - \angle {EFM}} \right)\)
\( = \angle {ACB} - \angle {AFE}\) (1)
+) \(\Delta BKC\)~ \(\Delta EMF\left( {g - g} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta BKM{\rm{\;}}\)~ \(\Delta EMJ{\rm{\;(g}}{\rm{.c}}{\rm{.g)}}\)
\( \Rightarrow \angle {BKM} = \angle {EMJ}\)
\( \Rightarrow \angle {AMJ} = \angle {EMJ} - \angle {EMA}\)
\( = \angle {BKA} - \angle {EMA}\)
\( = \angle {ACB} - \angle {AFE}\) (2)
(1) (2) \( \Rightarrow \angle {AMJ} = \angle {OAK} \Rightarrow OA//JM\)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
