Có bao nhiêu số phức \(z\) có phần thực và phần ảo là số nguyên thỏa mãn \(\left| {2z + \bar z -

Câu hỏi số 693524:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số phức \(z\) có phần thực và phần ảo là số nguyên thỏa mãn \(\left| {2z + \bar z - 2i\left| \le \right|z + 2i} \right|\) và \(z + 2\bar z + 4i\) có phần ảo không âm?

A. 4.

B. 27.

C. 25.

D. 15.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:693524

Phương pháp giải

Đặt \(z = x + yi\) với \(x,y \in \mathbb{R}\).

Giải chi tiết

Đặt \(z = x + yi\) với \(x,y \in \mathbb{R}\). Ta có

+) \(\left| {2z + \bar z - 2i\left| \le \right|z + 2i\left| \Leftrightarrow \right|2\left( {x + yi} \right) + \left( {x - yi} \right) - 2i\left| \le \right|\left( {x + yi} \right) + 2i} \right|\)

\( \Leftrightarrow \left| {3x + \left( {y - 2} \right)i\left| \le \right|x + \left( {y + 2} \right)i} \right| \Leftrightarrow \sqrt {9{x^2} + {{(y - 2)}^2}} \le \sqrt {{x^2} + {{(y + 2)}^2}} \)

\( \Leftrightarrow 9{x^2} + {y^2} - 4y + 4 \le {x^2} + {y^2} + 4y + 4 \Leftrightarrow y \ge {x^2}\) (1)

+) \(z + 2\vec z + 4i = \left( {x + yi} \right) + 2\left( {x - yi} \right) + 4i = 3x + \left( {4 - y} \right)i\).

\(z + 2\bar z + 4i\) có phần ảo không âm khi và chỉ khi \(4 - y \ge 0 \Leftrightarrow y \le 4\). (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(0 \le {x^2} \le y \le 4 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 \le x \le 2}\\{{x^2} \le y \le 4}\end{array}} \right.\)

Với \(x \in \left\{ { - 2;2} \right\}\) ta có \(y = 4 \Rightarrow \) có 2 số phức thỏa mãn.

Với mỗi \(x \in \left\{ { - 1;1} \right\}\) ta có \(y \in \left\{ {1;2;3;4} \right\} \Rightarrow \) có 8 số phức thỏa mãn.

Với \(x = 0\) ta có \(y \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\} \Rightarrow \) có 5 điểm số phức thỏa mãn.

Vậy có 15 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.