Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}(m - 1)x + y = m\\x + \left( {m - 1} \right)y = 2\end{array}

Câu hỏi số 697446:

Vận dụng cao

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}(m - 1)x + y = m\\x + \left( {m - 1} \right)y = 2\end{array} \right.\,\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{(1)}\\{(2)}\end{array}\) có nghiệm duy nhất \((x;y)\).|Tính giá trị của biểu thức: \(A = {x^2} - {y^2} - 3x + y + 2\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:697446

Phương pháp giải

Tìm điều kiện của \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Tìm nghiệm duy nhất của hệ phương trình sau đó thay vào biểu thức bài cho để tìm \(m.\)
Tính giá trị của biểu thức rồi kết luận.

Giải chi tiết

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {m - 1} \right)x + y = m{\rm{\;}}\left( 1 \right)}\\{x + \left( {m - 1} \right)y = 2{\rm{\;}}\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Từ phương trình \(\left( 1 \right) \Rightarrow y = m - \left( {m - 1} \right)x\)
Thế vào phương trìinh (2) ta được:

\(\;\left( 2 \right) \Leftrightarrow x + \left( {m - 1} \right)\left[ {m - \left( {m - 1} \right)x} \right] = 2\)

\(\; \Leftrightarrow x + m\left( {m - 1} \right) - {(m - 1)^2}x = 2\)

\(\; \Leftrightarrow \left[ {{{(m - 1)}^2} - 1} \right]x = {m^2} - m - 2\)

\(\; \Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right)x = \left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right){\rm{\;}}\left( {\rm{*}} \right)\)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \left( {\rm{*}} \right)\) có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ne 0}\\{m \ne 2}\end{array}} \right.\)
Khi đó ta có: \(\left( {\rm{*}} \right) \Leftrightarrow x = \dfrac{{\left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right)}}{{m\left( {m - 2} \right)}} = \dfrac{{m + 1}}{m}\)

\( \Rightarrow y = m - \dfrac{{\left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right)}}{m} = \dfrac{{{m^2} - {m^2} + 1}}{m} = \dfrac{1}{m}\)

Với \(m \ne 0,m \ne 2\) thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{{m + 1}}{m}}\\{y = \dfrac{1}{m}}\end{array}} \right.\)

\(\;A = {x^2} - {y^2} - 3x + y + 2\)

\(\;A = {\left( {\dfrac{{m + 1}}{m}} \right)^2} - \dfrac{1}{{{m^2}}} - \dfrac{{3\left( {m + 1} \right)}}{m} + \dfrac{1}{m} + 2\)

\(\;A = \dfrac{{{m^2} + 2m + 1 - 1 - 3m\left( {m + 1} \right) + m + 2{m^2}}}{{{m^2}}}\)

\(\;A = \dfrac{{3{m^2} + 3m - 3{m^2} - 3m}}{{{m^2}}} = 0.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link