Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 9\) và

Câu hỏi số 698719:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 9\) và điểm \(A\left( {0;1; - 2} \right)\). Từ \(A\) kẻ các tiếp tuyến đến \(\left( S \right)\) với các tiếp điểm thuộc đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\). Từ điểm \(M\) nằm ngoài \(\left( S \right)\) và nằm trong mặt phẳng chứa đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\), kẻ các tiếp tuyến đến \(\left( S \right)\) với các tiếp điểm thuộc đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\). Biết rằng nếu \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) có cùng bán kính thì \(M\) luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính \(r\) của đường tròn đó bằng?

A. \(r = 3\sqrt 6 \).

B. \(r = 2\sqrt 6 \).

C. \(r = 3\sqrt 2 \).

D. \(r = \sqrt {10} \).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:698719

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Có \(\left( S \right):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 9 \Rightarrow \) Tâm \(I\left( {1;2;3} \right),{R_S} = 3\)

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa \(\left( {{C_1}} \right)\).

Khi điểm \(M\) không bắt buộc thuộc vào mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì để \(\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right)\) là hai đường tròn có cùng bán kính thì \(M\) thuộc mặt cầu tâm \(I\left( {1;2;3} \right),R = IA = 3\sqrt 3 \).

Do đó, điểm \(M\) thuộc đường tròn là giao của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {I,R = IA} \right)\).

Dễ thấy rằng, bán kính cần tìm chính là độ dài đoạn \(MG\) như trong hình vẽ. Với \(G\) là tâm đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{IA = 3\sqrt 3 }\\{IN = {R_S} = 3}\end{array} \Rightarrow IG = \dfrac{{I{N^2}}}{{IA}} = \dfrac{9}{{3\sqrt 3 }} = \sqrt 3 } \right.\).

Mặt khác, \(M{G^2} = I{M^2} - I{G^2} = I{A^2} - I{G^2} = 27 - 3 = 24\)

\( \Rightarrow MG = 2\sqrt 6 \).

Vậy \(M\) thuộc đường tròn bán kính \(2\sqrt 6 \).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.