Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương phân biệt, khác 1 và thỏa

Câu hỏi số 707446:

Vận dụng

Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương phân biệt, khác 1 và thỏa mãn:

${\rm{log}}_a^2{b^2} . {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\dfrac{b}{a} - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b . {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\dfrac{{{b^{12}}}}{{{a^{21}}}} - 9 = 0$. Giá trị của ${\rm{lo}}{{\rm{g}}_b}a$ thuộc khoảng nào sau đây?

A. $\left( { - 1;0} \right)$.

B. $\left( {2;3} \right)$.

C. $\left( {0;1} \right)$.

D. $\left( {\dfrac{5}{6};2} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:707446

Phương pháp giải

Sử dụng các quy tắc tính logarit:

$\log_a x^n = n \log_a x$ (với $x > 0, a > 0, a \neq 1$)

$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ (với $x, y > 0, a > 0, a \neq 1$)

$\log_a^n x = (\log_a x)^n$

$\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$

Đặt ẩn phụ $t = \log_a b$ để đưa về phương trình bậc cao. Lưu ý điều kiện $a \neq b \Rightarrow t \neq 1$.

Giải chi tiết

Ta có ${\rm{log}}_a^2{b^2} . {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\dfrac{b}{a} - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b . {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\dfrac{{{b^{12}}}}{{{a^{21}}}} - 9 = 0\left( {a \ne b,a,b \ne 1} \right)$

$ \Leftrightarrow {\left( {2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b} \right)^2} . \left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b - 1} \right) - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b . \left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}{b^{12}} - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}{a^{21}}} \right) - 9 = 0$

$ \Leftrightarrow {\left( {2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b} \right)^2} . \left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b - 1} \right) - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b . \left( {12{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b - 21} \right) - 9 = 0$

Đặt $t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b$ ta được: $4{t^2}\left( {t - 1} \right) - t\left( {12t - 21} \right) - 9 = 0$

$ \Leftrightarrow 4{t^3} - 4{t^2} - 12{t^2} + 21t - 9 = 0 \Leftrightarrow 4{t^3} - 16{t^2} + 21t - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{t = \dfrac{3}{2}}\end{array}} \right.$

Suy ra $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b = 1}\\{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b = \dfrac{3}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = b\left( {{\rm{ktm\;}}} \right)}\\{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_b}a = \dfrac{2}{3} \in \left( {0;1} \right)}\end{array}} \right.} \right.$.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.