Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = 1,\left| {{z_2}} \right| = \sqrt 2 \) và

Câu hỏi số 707683:

Vận dụng cao

Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = 1,\left| {{z_2}} \right| = \sqrt 2 \) và \(A,B\) lần lượt là hai điểm biểu diễn của hai số phức \({z_1},i{z_2}\). Biết \(\angle AOB = {45^ \circ }\). Giá trị của \(\left| {4z_1^2 + 9z_2^2} \right|\) bằng

A. \(\sqrt {340} \).

B. \(\sqrt {540} \).

C. \(8\sqrt 6 \).

D. \(2\sqrt {30} \).

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:707683

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Ta có \(OA = \left| {{z_1}} \right| = 1;OB = \left| {i{z_2}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt 2 \).

Áp dụng định lí cosin cho tam giác \(ABO\). , ta được

\(A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} - 2OA \cdot OB \cdot {\rm{cos}}{45^ \circ } = 1 + 2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt 2 \cdot \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = 1\)

\( \Rightarrow \Delta OAB\) vuông cân tại \(A\).

Gọi \({z_1} = a + bi;i{z_2} = c + di,\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right)\). Khi đó, \(A\left( {a;b} \right),B\left( {c;d} \right)\).

Theo giả thiết, ta có \({a^2} + {b^2} = 1;{c^2} + {d^2} = 2\)

Vì \(\Delta OAB\) vuông cân tại \(A\) nên

\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {AB} = 0 \Leftrightarrow a\left( {c - a} \right) + b\left( {d - b} \right) = 0 \Leftrightarrow ac + bd - \left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 0}\\{}&{\; \Leftrightarrow ac + bd = 1}\end{array}\)

Ta có \(\left| {4z_1^2 + 9z_2^2} \right| = \left| {4z_1^2 - 9{{\left( {i{z_2}} \right)}^2}} \right| = \left| {2{z_1} - 3i{z_2}} \right|\left| {2{z_1} + 3i{z_2}} \right|\).

Xét \(\left| {2{z_1} - 3i{z_2}} \right| = \left| {2\left( {a + bi} \right) - 3\left( {c + di} \right)} \right|\)

\( = \left| {2a - 3c + \left( {2b - 3d} \right)i} \right|\)

\( = \sqrt {{{(2a - 3c)}^2} + {{(2b - 3d)}^2}} = \sqrt {4\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 9\left( {{c^2} + {d^2}} \right) - 12\left( {ac + bd} \right)} = \sqrt {10} \).

Xét \(\left| {2{z_1} + 3i{z_2}} \right| = \left| {2\left( {a + bi} \right) + 3\left( {c + di} \right)} \right|\)

\( = \left| {2a + 3c + \left( {2b + 3d} \right)i} \right|\)

\( = \sqrt {{{(2a + 3c)}^2} + {{(2b + 3d)}^2}} = \sqrt {4\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 9\left( {{c^2} + {d^2}} \right) + 12\left( {ac + bd} \right)} = \sqrt {34} \).

Vậy \(\left| {4z_1^2 + 9z_2^2} \right| = \sqrt {340} \).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.