Cho hàm số bậc bốn \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và hàm số

Câu hỏi số 707682:

Vận dụng

Cho hàm số bậc bốn \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và hàm số \(f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 100;100} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {{x^2} - 3x + 2} \right| + 2m} \right) + 2024\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)?

A. 100.

B. 99.

C. 97.

D. 101.

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:707682

Phương pháp giải

Cô lập m.

Giải chi tiết

Với \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\), ta có \({x^2} - 3x + 2 > 0\). Do đó, \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 3x + 2 + 2m} \right) + 2024\).

Ta có \(g'\left( x \right) = \left( {2x - 3} \right)f'\left( {{x^2} - 3x + 2 + 2m} \right),x \in \left( {2; + \infty } \right)\).

Hàm số \(y = g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi

\(g'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {2x - 3} \right)f'\left( {{x^2} - 3x + 2 + 2m} \right) \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow f'\left( {{x^2} - 3x + 2 + 2m} \right) \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 < {x^2} - 3x + 2 + 2m \le 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)}\\{{x^2} - 3x + 2 + 2m \ge 2,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 + 2m \ge 2,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 \ge 2 - 2m,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow 2 - 2m \le 0\)

\( \Leftrightarrow m \ge 1\).

Kết hợp với \(m\) nguyên và \(m \in \left[ { - 100;100} \right]\), ta được \(m \in \left\{ {1;2;3; \ldots ;100} \right\}\).

Vậy có 100 giá trị \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.