Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\) có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng \(f\left( x

Câu hỏi số 707684:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\) có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại các điểm \({x_1};{x_2};{x_3}\) thỏa mãn \({x_3} = {x_1} + 4\) và \(f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_3}} \right) + \dfrac{2}{3}f\left( {{x_2}} \right) = 0\). Gọi \({S_1};{S_2};{S_3}\); \({S_4}\) là diện tích các hình phẳng trong hình vẽ. Tỉ số \(\dfrac{{{S_1} + {S_2}}}{{{S_3} + {S_4}}}\) gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A. \(0,60\).

B. \(0,86\).

C. \(0,71\).

D. \(0,91\).

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:707684

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Theo giả thiết \({x_3} = {x_1} + 4\), lại có \({x_1} = - {x_3}\) (tính chất hàm trùng phương) suy ra \({x_1} = - 2\); \({x_3} = 2\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 4a{x^3} + 2bx = 2x\left( {2a{x^2} + b} \right)\).

Mà \({x_1} = - 2;{x_3} = 2\) là cực trị của hàm số đã cho nên \(2.2\left( {2a{{.2}^2} + b} \right) = 0 \Rightarrow b = - 8a\) \( \Rightarrow f\left( x \right) = a{x^4} - 8a{x^2} + c\).

Ta có

\(f\left( {{x_1}} \right) = f\left( { - 2} \right) = 16a - 32a + c = - 16a + c\);

\(f\left( {{x_2}} \right) = f\left( 0 \right) = c;\)

\(f\left( {{x_3}} \right) = f\left( 2 \right) = 16a - 32a + c = - 16a + c\)

\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_3}} \right) + \dfrac{2}{3}f\left( {{x_2}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow - 32a + 2c + \dfrac{2}{3}c = 0 \Leftrightarrow c = 12a\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = a{x^4} - 8a{x^2} + 12a = a\left( {{x^4} - 8{x^2} + 12} \right)\).

Xét \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow a\left( {{x^4} - 8{x^2} + 12} \right) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} = 6}\\{{x^2} = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \pm \sqrt 6 }\\{x = \pm \sqrt 2 {\rm{.\;}}}\end{array}} \right.} \right.\)

Theo hình vẽ giao điểm thứ 3 của hàm số và trục \(Ox\) từ trái sang nhỏ hơn \({x_3} = 2\) là giá trị \(x = \sqrt 2 \).

Ta có ;

Ta có tổng diện tích \({S_1} + {S_2} + {S_3} + {S_4}\) là diện tích hình chữ nhật nên

\({S_1} + {S_2} + {S_3} + {S_4} = {x_3}\left( {f\left( 0 \right) + \left| {f\left( {{x_3}} \right)} \right|} \right) = 2\left( {12a + 4a} \right) = 32a\).

Do đó

\(\dfrac{{{S_1} + {S_2}}}{{{S_3} + {S_4}}} = \dfrac{{\dfrac{{112\sqrt 2 }}{{15}}a + \dfrac{{112\sqrt 2 - 136}}{{15}}a}}{{32a - \left( {\dfrac{{112\sqrt 2 }}{{15}}a + \dfrac{{112\sqrt 2 - 136}}{{15}}a} \right)}} \approx 0,60\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.