Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) có \(AB = 12\,cm,\,\,AC = 16\,cm.\) Kẻ đường cao \(AM,\) kẻ \(ME

Câu hỏi số 719161:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) có \(AB = 12\,cm,\,\,AC = 16\,cm.\) Kẻ đường cao \(AM,\) kẻ \(ME \bot AB.\)

a) Tính \(BC,\,\,\angle B,\,\,\angle C\)

b) Tính độ dài \(AM\)

c) Chứng minh \(AE.AB = A{C^2} - M{C^2}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:719161

Phương pháp giải

a) Sử dụng định lý Pythagore và các công thức về tỉ số lượng giác của góc nhọn.

b) Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.

c) Chứng minh tam giác đồng dạng để có \(A{M^2} = AE.AB\) và định lí Pythagore cho \(\Delta AMC\) vuông tại \(M\) để chứng minh đẳng thức đề bài yêu cầu.

Giải chi tiết

a) Áp dụng định lý Pythagore cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} \) \( = \sqrt {{{12}^2} + {{16}^2}} {\rm{\;}} = \sqrt {400} \) \( = 20{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} cm.\)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(\sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{16}}{{20}} = 0,8\) \( \Rightarrow \angle B \approx 53^\circ \)

Mà \(\angle B + \angle C = 90^\circ \) (hai góc phụ nhau) nên \(\angle C = 90^\circ - 53^\circ = 37^\circ \)

b) Xét \(\Delta AMB\) vuông tại \(M,\) có:

\(AM = AB.\sin B = 12.0,8 = 9,6\,\,(cm)\)

c) Xét \(\Delta AEM\) và \(\Delta AMB\) có:

\(\angle {BAM}\) chung

\(\angle {AEM} = \angle {AMB} = 90^\circ \)

Suy ra \(\Delta AEM\)~\(\Delta AMB\) (g.g)

Khi đó \(\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AM}}\) hay \(A{M^2} = AE.AB\) (1)

Áp dụng định lý Pythagore cho \(\Delta AMC\) vuông tại \(M\) ta có: \(A{M^2} = A{C^2} - M{C^2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE.AB = A{C^2} - M{C^2}\) (đpcm)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.