Tìm tham số thực \(m\) để phương trình \(m\sqrt {{x^2} + 2} = x + m\,\,\,\left( 1 \right)\) có hai

Câu hỏi số 720269:

Vận dụng

Tìm tham số thực \(m\) để phương trình \(m\sqrt {{x^2} + 2} = x + m\,\,\,\left( 1 \right)\) có hai nghiệm thực phân biệt.

A. \(m \in \left( { - \sqrt 2 ; - 1} \right) \cup \left( {1;\sqrt 2 } \right)\)

B. \(m \in \left[ {\sqrt 2 , + \infty } \right]\)

C. \(m \in \left( { - \infty , - \sqrt 2 } \right)\)

D. \(\left[ { - 1,\sqrt 2 } \right]\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:720269

Giải chi tiết

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow m\sqrt {{x^2} + 2} - m = x \Leftrightarrow m = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2} - 1}} = f\left( x \right);\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

Tính \(f'\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 2} - 1 - x\left( {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2} }}} \right)}}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2} - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x^2} + 2 - \sqrt {{x^2} + 2} - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 2} .{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2} - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{2 - \sqrt {{x^2} + 2} }}{{\sqrt {{x^2} + 2} .{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2} - 1} \right)}^2}}};\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2} = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 2 = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \sqrt 2 \\x = \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, để hàm số có hai nghiệm thực phân biệt thì \(1 < m < \sqrt 2 \) hoặc \( - \sqrt 2 < m < - 1\).

Vậy \(m \in \left( { - \sqrt 2 ; - 1} \right) \cup \left( {1;\sqrt 2 } \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.