Có bao nhiêu số nguyên \(m \in \left[ { - 10,10} \right]\) để phương trình \({x^2} + \left( {m + 2} \right)x

Câu hỏi số 720270:

Vận dụng

Có bao nhiêu số nguyên \(m \in \left[ { - 10,10} \right]\) để phương trình \({x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 4 = \left( {m - 1} \right)\sqrt {{x^3} + 4x} \,\,\,\left( * \right)\) có nghiệm thực.

A. 1

B. 4

C. 3

D. 5

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:720270

Giải chi tiết

Điều kiện \(x \ge 0\).

\(\left( * \right) \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 4} \right) + \left( {m + 2} \right)x = \left( {m - 1} \right)\sqrt {x\left( {{x^2} + 4} \right)} \,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Do \(x = 0\) thì phương trình không thỏa mãn. Chia cả hai vế cho \(x \ne 0\) được:

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 4}}{x} - \left( {m - 1} \right)\sqrt {\dfrac{{{x^2} + 4}}{x}} + m + 2 = 0\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Đặt \(t = \sqrt {\dfrac{{{x^2} + 4}}{x}} = \sqrt {x + \dfrac{4}{x}} \ge 2\) thì \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {t^2} - \left( {m - 1} \right)t + m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{{{t^2} + t + 2}}{{t - 1}}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} + t + 2}}{{t - 1}}\) trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\) có: \(f'\left( t \right) = \dfrac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = 3\)

Bảng biến thiên:

Kết luận: Dựa vào bảng biến thiên, suy ra \(m \ge 7\) thì phương trình có nghiệm.

Vậy \(m \in \left\{ {7,8,9,10} \right\} \Rightarrow \) có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.