Có bao nhiêu số nguyên $m \in \left[ { - 10,10} \right]$ để phương trình \({x^2} + \left( {m + 2} \right)x

Câu hỏi số 720270:

Vận dụng

Có bao nhiêu số nguyên $m \in \left[ { - 10,10} \right]$ để phương trình ${x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 4 = \left( {m - 1} \right)\sqrt {{x^3} + 4x} \,\,\,\left( * \right)$ có nghiệm thực.

A. 1

B. 4

C. 3

D. 5

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:720270

Giải chi tiết

Điều kiện $x \ge 0$ .

$\left( * \right) \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 4} \right) + \left( {m + 2} \right)x = \left( {m - 1} \right)\sqrt {x\left( {{x^2} + 4} \right)} \,\,\,\,\left( 1 \right)$

Do $x = 0$ thì phương trình không thỏa mãn. Chia cả hai vế cho $x \ne 0$ được:

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 4}}{x} - \left( {m - 1} \right)\sqrt {\dfrac{{{x^2} + 4}}{x}} + m + 2 = 0\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Đặt $t = \sqrt {\dfrac{{{x^2} + 4}}{x}} = \sqrt {x + \dfrac{4}{x}} \ge 2$ thì $\left( 2 \right) \Leftrightarrow {t^2} - \left( {m - 1} \right)t + m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{{{t^2} + t + 2}}{{t - 1}}$

Xét hàm số $f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} + t + 2}}{{t - 1}}$ trên $\left[ {2; + \infty } \right)$ có: $f'\left( t \right) = \dfrac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = 3$

Bảng biến thiên:

Kết luận: Dựa vào bảng biến thiên, suy ra $m \ge 7$ thì phương trình có nghiệm.

Vậy $m \in \left\{ {7,8,9,10} \right\} \Rightarrow$ có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.