Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao BM, CN cắt nhau
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao BM, CN cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác BCMN nội tiếp.
b) Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của (O) với BM, CN. Chứng minh \(HB.HP = HC.HQ\).
c) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC. Tính tỉ số \(\dfrac{{OK}}{{AH}}\)
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
a) Chứng minh tứ giác BCMN nội tiếp.
Xét tứ giác BCMN có:
\(\angle BMC = \angle CNB = 90^\circ \)
Mà hai góc này kề nhau, cùng nhìn BC dưới một góc \(90^\circ \)
\( \Rightarrow \) B, C, M, N cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác BCMN nội tiếp (dhnb) (đpcm).
b) Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của (O) với BM, CN. Chứng minh \(HB.HP = HC.HQ\).
Xét \(\Delta HBC\) và \(\Delta HQP\) có:
\(\angle BHC = \angle PHQ\) (hai góc đối đỉnh)
\(\angle PBC = \angle PQC\left( { = \dfrac{1}{2}sd\,cung\,PC} \right)\) (hai góc cùng chắn cung PC)
\( \Rightarrow \Delta HBC\)~\(\Delta HQP\) (g.g)
\( \Rightarrow \dfrac{{HB}}{{HQ}} = \dfrac{{HC}}{{HP}} \Rightarrow HB.HP = HC.HQ\) (đpcm)
c) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC. Tính tỉ số \(\dfrac{{OK}}{{AH}}\)
Kẻ đường kính AD.
Ta có \(\left. \begin{array}{l}DC \bot AC\\BM \bot AC\end{array} \right\} \Rightarrow BM//DC \Rightarrow BH//DC\)
Chứng minh tương tự, ta có \(CH//BD\)
\( \Rightarrow \) tứ giác BDCH là hình bình hành.
Mà K là trung điểm của BC \( \Rightarrow \) K là trung điểm của HD.
Xét tam giác AHD có:
O là trung điểm của AD.
K là trung điểm của HD.
\( \Rightarrow \) OK là đường trung bình của \(\Delta AHD\).
\( \Rightarrow \dfrac{{OK}}{{AH}} = \dfrac{1}{2}\) (đpcm)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
