1) Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x - 3}} + \dfrac{2}{{9 - x}}} \right):\dfrac{{\sqrt x +

Câu hỏi số 721393:

Vận dụng

1) Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x - 3}} + \dfrac{2}{{9 - x}}} \right):\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}}\) với \(x \ge 0;x \ne 9.\)

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm điều kiện của \(x\)để \(P < 0.\)

2) Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - {m^2} - 3 = 0\,\,\left( 1 \right)\)trong đó m là tham số.

a) Giải phương trình (1) khi \(m = 3.\)

b) Tìm \(m\)để phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) thỏa mãn \(\left| {{x_2}} \right| - \left| {{x_1}} \right| = 2024.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:721393

Phương pháp giải

1) a) Quy đồng và rút gọn

b) Cho \(P < 0\) và xác định x.

2) a) Thay \(m = 3\) vào phương trình.

b) Xác định dấu của \({x_1},{x_2}\).

Giải chi tiết

a) Với \(x \ge 0;x \ne 9\)ta có:

\(P = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x - 3}} + \dfrac{2}{{9 - x}}} \right):\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}}\)

\(\begin{array}{l} = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x - 3}} - \dfrac{2}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}} \right).\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 1}}\\ = \dfrac{{\sqrt x + 3 - 2}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 1}}\\ = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 1}}\\ = \dfrac{1}{{\sqrt x - 3}}\end{array}\)

Vậy \(P = \dfrac{1}{{\sqrt x - 3}}.\)

b) \(P < 0\) khi và chỉ khi \(\dfrac{1}{{\sqrt x - 3}} < 0 \Leftrightarrow \sqrt x - 3 < 0 \Leftrightarrow \sqrt x < 3 \Leftrightarrow x < 9\)

Kết hợp với điều kiện \(x \ge 0;x \ne 9\)ta được \(0 \le x < 9\).

Vậy với \(0 \le x < 9\)thì \(P < 0.\)

a) Thay \(m = 3\) vào phương trình (1) ta được:

\({x^2} - 4x - 12 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\x - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 6\end{array} \right.\)

Vậy với \(m = 3\) thì phương trình (1) có tập nghiệm là: \(S = \left\{ { - 2;6} \right\}.\)

b) Do \(a.c = - {m^2} - 3 < 0\,\,\forall m\) nên phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu \({x_1},{x_2}\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\)

Do \({x_1} < {x_2} \Rightarrow {x_1} < 0,{x_2} > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {{x_1}} \right| = - {x_1}\\\left| {{x_2}} \right| = {x_2}\end{array} \right.\)

Khi đó \(\left| {{x_2}} \right| - \left| {{x_1}} \right| = 2024 \Leftrightarrow {x_2} + {x_1} = 2024 \Leftrightarrow 2\left( {m - 1} \right) = 2024 \Leftrightarrow m = 1013\)

Vậy \(m = 1013\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link