Cho đường tròn tâm O đường kính AB và M là điểm chính giữa của cung AB. Lấy điểm D thuộc
Cho đường tròn tâm O đường kính AB và M là điểm chính giữa của cung AB. Lấy điểm D thuộc dây MB (D khác M và B ). Tia AD cắt cung nhỏ BM tại N, tia AM cắt tia BN tại C.
1) Chứng minh: tứ giác CMDN nội tiếp được trong đường tròn.
2) Chứng minh: \(AM \cdot AC = AD \cdot AN\).
3) Chứng minh: \(\angle MCD = \angle OMB\).
4) Gọi E là giao điểm của tia AB và tia MN. Chứng minh: \(\angle {DBN} = \angle {NEB}\).
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
1) Do \(\angle AMB = \angle ANB = {90^0}\) (Các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Nên \(\angle CMB = \angle CND = {90^0}\)
Xét tứ giác CMDN có \(\angle CMB + \angle CND = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà 2 góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác CMDN nội tiếp được trong đường tròn
2) Xét \(\Delta AMD\) và \(\Delta ANC\) có \(\angle NAC\) chung
\(\angle AMD = \angle ANC = {90^0}\)
\( \Rightarrow \Delta AMD\)~\(\Delta ANC\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AN}} = \dfrac{{AD}}{{AC}} \Rightarrow AM.AC = AN.AD\)
3) Do ABNM nội tiếp \(\left( O \right) \Rightarrow \angle CNM = \angle BAC\) (góc ngoài của đỉnh đối diện tứ giác nội tiếp)
Mà \(\angle CNM = \angle MCD\) (góc nội tiếp cùng chắn cung MC)
\( \Rightarrow \angle MCD = \angle OMB\left( { = \angle CNM} \right)\)
4) Do M là điểm chính giữa cung AB nên \(cung\,MA = cung\,MB \Rightarrow \angle MNA = \angle MAB\) (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
Xét \(\Delta MAN\) và \(\Delta MAE\) có \(\angle AME\) chung
\(\angle MNA = \angle MAE\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta MAN\)~\(\Delta MAE\left( {g.g} \right) \Rightarrow \angle MAN = \angle MEA\) (hai góc tương tứng)
Mà \(\angle MAN = \angle MBN\) (góc nội tiếp cùng chắn cung MN)
\( \Rightarrow \angle MBN = \angle MEB\) hay \(\angle DBN = \angle NEB\)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
