Cho đường tròn tâm O, đường kính \(AB = 2R\). Gọi H là trung điểm của bán kính OA. Đường
Cho đường tròn tâm O, đường kính \(AB = 2R\). Gọi H là trung điểm của bán kính OA. Đường thẳng qua H, vuông góc với AB cắt dường tròn (O) tại hai điểm C và D.
a) Chứng minh AOC là tam giác đều.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Đường phân giác \(\angle {ACB}\) cắt đường thẳng MO tại E. Chứng minh các điểm B, C, H, E cùng nằm trên một đường tròn.
c) Tính diện tích tứ giác ACOE theo R.
d) Chứng minh rằng các điểm M, O, D thẳng hàng.
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
a) Do \(CD \bot OA\) tại trung điểm H của AB nên CD là trung trực của OA \( \Rightarrow CO = CA\)
Mà \(OA = OC\left( { = R} \right) \Rightarrow OA = OC = CA \Rightarrow \Delta OCA\) là tam giác đều
b) Do M là trung điểm của BC nên \(OM \bot BC \Rightarrow OM\) là trung trực của BC
Mà \(E \in OM \Rightarrow EB = EC \Rightarrow \Delta EBC\) cân tại E
Ta có \(\angle ACB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Mà CE là phân giác của \(\angle ACB \Rightarrow \angle BCE = {45^0}\)
\( \Rightarrow \Delta EBC\) vuông cân tại E \( \Rightarrow \angle CEB = {90^0} = \angle CHB\)
Mà E, H kề nhau, cùng nhìn BC dưới góc \({90^0} \Rightarrow \)B, C, H, E cùng thuộc một đường tròn (dhnb)
c) Do \(OE \bot BC,AC \bot BC\left( {cmt} \right) \Rightarrow OE\parallel AC\) (từ vuông góc đến song song)
\( \Rightarrow ACOE\) là hình thang có 2 đáy là OE, AC, đường cao là MC
Ta có \(AC = OA = OC = R \Rightarrow BC = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}} = \sqrt {4{R^2} - {R^2}} = R\sqrt 3 \)
\( \Rightarrow ME = MC = MB = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}\) (tính chất đường trung tuyến)
Ta có \(OM = \sqrt {O{B^2} - M{B^2}} = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{R}{2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow OE = ME - OM = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{R}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 - 1}}{2}R\\ \Rightarrow {S_{ACOE}} = \dfrac{1}{2}\left( {OE + AC} \right).MC = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\sqrt 3 - 1}}{2}R + R} \right).\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}R = \dfrac{{3 + \sqrt 3 }}{8}{R^2}\end{array}\)
d) Chứng minh rằng các điểm M, O, D thẳng hàng
CD là trung trực của OA nên \(DA = DO = OA \Rightarrow AC = CO = OD = DA \Rightarrow ACOD\) là hình thoi
\( \Rightarrow OD\parallel AC\)
Mà \(AC \bot BC \Rightarrow OD \bot BC\)
Lại có \(MO \bot BC \Rightarrow D,O,M\) thẳng hàng
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com