Cho đường tròn tâm O, đường kính \(AB = 2R\). Gọi H là trung điểm của bán kính OA. Đường

Câu hỏi số 722010:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm O, đường kính \(AB = 2R\). Gọi H là trung điểm của bán kính OA. Đường thẳng qua H, vuông góc với AB cắt dường tròn (O) tại hai điểm C và D.

a) Chứng minh AOC là tam giác đều.

b) Gọi M là trung điểm của BC. Đường phân giác \(\angle {ACB}\) cắt đường thẳng MO tại E. Chứng minh các điểm B, C, H, E cùng nằm trên một đường tròn.

c) Tính diện tích tứ giác ACOE theo R.

d) Chứng minh rằng các điểm M, O, D thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:722010

Phương pháp giải

Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.

Giải chi tiết

a) Do \(CD \bot OA\) tại trung điểm H của AB nên CD là trung trực của OA \( \Rightarrow CO = CA\)

Mà \(OA = OC\left( { = R} \right) \Rightarrow OA = OC = CA \Rightarrow \Delta OCA\) là tam giác đều

b) Do M là trung điểm của BC nên \(OM \bot BC \Rightarrow OM\) là trung trực của BC

Mà \(E \in OM \Rightarrow EB = EC \Rightarrow \Delta EBC\) cân tại E

Ta có \(\angle ACB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Mà CE là phân giác của \(\angle ACB \Rightarrow \angle BCE = {45^0}\)

\( \Rightarrow \Delta EBC\) vuông cân tại E \( \Rightarrow \angle CEB = {90^0} = \angle CHB\)

Mà E, H kề nhau, cùng nhìn BC dưới góc \({90^0} \Rightarrow \)B, C, H, E cùng thuộc một đường tròn (dhnb)

c) Do \(OE \bot BC,AC \bot BC\left( {cmt} \right) \Rightarrow OE\parallel AC\) (từ vuông góc đến song song)

\( \Rightarrow ACOE\) là hình thang có 2 đáy là OE, AC, đường cao là MC

Ta có \(AC = OA = OC = R \Rightarrow BC = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}} = \sqrt {4{R^2} - {R^2}} = R\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow ME = MC = MB = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}\) (tính chất đường trung tuyến)

Ta có \(OM = \sqrt {O{B^2} - M{B^2}} = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{R}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow OE = ME - OM = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{R}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 - 1}}{2}R\\ \Rightarrow {S_{ACOE}} = \dfrac{1}{2}\left( {OE + AC} \right).MC = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\sqrt 3 - 1}}{2}R + R} \right).\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}R = \dfrac{{3 + \sqrt 3 }}{8}{R^2}\end{array}\)

d) Chứng minh rằng các điểm M, O, D thẳng hàng

CD là trung trực của OA nên \(DA = DO = OA \Rightarrow AC = CO = OD = DA \Rightarrow ACOD\) là hình thoi

\( \Rightarrow OD\parallel AC\)

Mà \(AC \bot BC \Rightarrow OD \bot BC\)

Lại có \(MO \bot BC \Rightarrow D,O,M\) thẳng hàng

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.