Cho các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \(x + y \le 5\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P

Câu hỏi số 722103:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \(x + y \le 5\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{4}{{xy}} + \dfrac{9}{{x + 2y + 1}}\)

Câu trả lời của bạn

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy.

Giải chi tiết

Ta có: \(x + y \le 5 \Rightarrow x + 2y + 1 \le y + 6 \Rightarrow \dfrac{9}{{x + 2y + 1}} \ge \dfrac{9}{{y + 6}}\)

\(P = \dfrac{4}{{xy}} + \dfrac{9}{{x + 2y + 1}} \ge \dfrac{4}{{xy}} + \dfrac{{xy}}{9} + \dfrac{9}{{y + 6}} + \dfrac{{y + 6}}{9} - \dfrac{{x\left( {y + 1} \right) + 6}}{9}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{4}{{xy}} + \dfrac{{xy}}{9} \ge 2\sqrt {\dfrac{4}{{xy}}.\dfrac{{xy}}{9}} = \dfrac{4}{3}\\\dfrac{9}{{y + 6}} + \dfrac{{y + 6}}{9} \ge 2\sqrt {\dfrac{9}{{y + 6}}.\dfrac{{y + 6}}{9}} = 2\\x\left( {y + 1} \right) \le \dfrac{{{{\left( {x + y + 1} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{{{{\left( {5 + 1} \right)}^2}}}{4} = 9\end{array}\)

\( \Rightarrow P \ge \dfrac{4}{3} + 2 - \dfrac{{9 + 6}}{9} = \dfrac{5}{3}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = 2;y = 3\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \(\dfrac{5}{3}\) khi \(x = 2;y = 3\).

Xem lời giải

Câu hỏi:722103

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.