Cho đường tròn \((O,R)\) đường kính AB. Kẻ tia Ax là tiếp tuyến tại \(A\) của \((O)\). Trên tia

Câu hỏi số 722102:

Vận dụng cao

Cho đường tròn \((O,R)\) đường kính AB. Kẻ tia Ax là tiếp tuyến tại \(A\) của \((O)\). Trên tia Ax lấy điểm \(C\) sao cho \(CA > R\). Kẻ tiếp tuyến CD của \((O)(D\) là tiếp điểm, \(D\) khác \(A\) ). Đường thẳng CB cắt \((O)\) tại điểm \(M(M\) khác \(B)\)

1) Chứng minh tứ giác ACDO nội tiếp đường tròn.

2) Chứng minh hai đường thẳng BD và OC song song với nhau

3) Khi \(AC = \dfrac{{3R}}{2}\), tính độ dài đoạn thẳng MD theo \(R\).

4) Gọi \(I\) là trung điểm của BM ; E, K, F lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AD và OI, ME và AC, CD và BE. Chứng minh ba đường thẳng AD, BC, KF đồng quy tại một điểm.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:722102

Phương pháp giải

Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.

Giải chi tiết

1) Ta có: \(\angle OAC = {90^0}\) ( vì \(AC \bot AB\))

\(\angle CDO = {90^0}\) (vì \(CD\) là tiếp tuyến)

\( \Rightarrow \angle OAC + \angle CDO = {180^0}\)

Mà trong tứ giác \(ACDO\) có \(\angle OAC\) và \(\angle CDO\) là hai góc đối.

Nên \(ACDO\) nội tiếp đường tròn (dhnb).

2) Ta có: \(\angle BDA = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow AD \bot DB\) (1)

Lại có: \(CA = CD\) (tính chất tiếp tuyến); \(OA = OD = R\)

\( \Rightarrow CO\) là đường trung trực của \(AD\)

\( \Rightarrow CO \bot AD\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(CO//DB\) (cùng vuông góc với \(AD\))

3) \(\Delta ABC\) vuông tại A nên \(BC = \sqrt {A{C^2} + A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{3}{2}R} \right)}^2} + {{\left( {2R} \right)}^2}} = \dfrac{5}{2}R\)

Ta có \(\angle OAE = \angle OCA\) (cùng phụ \(\angle EAC\)) \( \Rightarrow \tan OAE = \tan \angle OCA = \dfrac{{OA}}{{AC}} = \dfrac{R}{{\dfrac{3}{2}R}} = \dfrac{2}{3}\)

\( \Rightarrow \tan \angle BAD = \dfrac{2}{3} = \dfrac{{BD}}{{AB}} \Rightarrow BD = \dfrac{2}{3}.2R = \dfrac{4}{3}R\)

\(\Delta CMD\)~\(\Delta CDB\left( {g.g} \right)\left( {Do\,\,\angle BCD\,\,chung,\angle CDM = \angle CBD = \dfrac{1}{2}sdcungMD} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{CD}}{{CB}} = \dfrac{{MD}}{{BD}} \Rightarrow MD = \dfrac{{CD.BD}}{{BC}} = \dfrac{{CA.BD}}{{BC}} = \dfrac{{\dfrac{3}{2}R.\dfrac{4}{3}R}}{{\dfrac{5}{2}R}} = \dfrac{4}{5}R\)

4) Ta có I là trung điểm của MB nên \(OI \bot MB \Rightarrow \angle BIE = {90^0}\)

D nằm trên đường tròn đường kính AB nên \(\angle BDA = \angle BDE = {90^0}\)

\( \Rightarrow \angle BIE = \angle BDE = {90^0} \Rightarrow B,I,D,E\) thuộc đường tròn đường kính BE

\( \Rightarrow \angle EID = \angle EBD\) (cùng chắn DE)

Ta có C,A,O,I,D cùng thuộc đường tròn đường kính OC

\( \Rightarrow \angle EID = \angle EAO\) (cùng bù \(\angle DIO)\)

\( \Rightarrow \angle EBD = \angle EAO\)

Mà \(\angle EAO + \angle DBA = {90^0}\) (\(\Delta ABD\) vuông tại D)

\( \Rightarrow \angle EBD + \angle DBA = {90^0} \Rightarrow EB \bot AB\)

\( \Rightarrow EB\parallel CA\left( { \bot AB} \right)\)

Ta có \(\angle FED = \angle DAC\) (so le trong),

\(\angle DAC = \angle ADC = \angle EDF \Rightarrow \angle FED = \angle EDF \Rightarrow \Delta FED\) cân tại F

\( \Rightarrow FE = FD\)

Mà F thuộc đường kính EB nên F là tâm đường tròn đường kính EB

\( \Rightarrow AB\) là tiếp tuyến của đường tròn (F)

\( \Rightarrow \angle BEO = \angle OBI = \angle BMO \Rightarrow OBEM\) nội tiếp

\( \Rightarrow \angle OBE = \angle OME = {90^0} \Rightarrow OM \bot KE\)

\( \Rightarrow KE\) là tiếp tuyến của (O)

\( \Rightarrow KA = KM\)

Mà K thuộc đường kính AC của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AMC\)

\( \Rightarrow K\) là trung điểm AC

Gọi P là giao điểm của AE và BC, gọi K’ là giao điểm của FP và AC

\( \Rightarrow \dfrac{{EP}}{{PA}} = \dfrac{{EF}}{{K'A}} = \dfrac{{BP}}{{PC}} = \dfrac{{BF}}{{CK'}} \Rightarrow \dfrac{{EF}}{{K'A}} = \dfrac{{BF}}{{CK'}}\) (talet)

Mà \(FB = FE \Rightarrow K'A = K'C \Rightarrow K'\) là trung điểm của AC

\( \Rightarrow K \equiv K' \Rightarrow BC,AD,KF\) đồng quy tại P.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.