Cho parabol \((P):y = {x^2}\) và đường thẳng \(d:y = 7x - m - 7\) (\(m\) là tham số). Gọi \(S\) là tập

Câu hỏi số 724010:

Vận dụng cao

Cho parabol \((P):y = {x^2}\) và đường thẳng \(d:y = 7x - m - 7\) (\(m\) là tham số). Gọi \(S\) là tập tất cả các giá trị của \(m\) để \(d\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\) nằm bên phải trục tung sao cho trong các hoành độ \({x_A},{x_B}\) có ít nhất một hoành độ là số nguyên tố. Tổng tất cả các phần tử của \(S\) bằng

A. 13.

B. 10.

C. 7.

D. 8.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:724010

Phương pháp giải

\(d\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\)nằm bên phải trục tung khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt.

Chọn \({x_A}\)là số nguyên tố \({x_A} \in \left\{ {2;3;5} \right\}\), thay vào hệ thức Vi-ét để tìm m và tính tổng các phần tử của tập hợp S.

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) ta có:

\({x^2} = 7x - m - 7 \Leftrightarrow {x^2} - 7x + m + 7 = 0\)(*)

Ta có: \(\Delta = {7^2} - 4\left( {m + 7} \right) = 21 - 4m\)

\(d\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, tức là \(\Delta > 0\)hay \(21 - 4m > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{{21}}{4}\)

Khi đó theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 7\\{x_1}.{x_2} = m + 7\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\m + 7 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{{21}}{4}\\m > - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow - 7 < m < \dfrac{{21}}{4}\)

Chọn \({x_A}\) là số nguyên tố \({x_A} \in \left\{ {2;3;5} \right\}\)

Với \({x_A} = 2 \Rightarrow {x_B} = 5 \Rightarrow m + 7 = 10 \Rightarrow m = 3\)

Với \({x_A} = 3 \Rightarrow {x_B} = 4 \Rightarrow m + 7 = 12 \Rightarrow m = 5\)

Với \({x_A} = 5 \Rightarrow {x_B} = 2 \Rightarrow m + 7 = 10 \Rightarrow m = 3\)

\( \Rightarrow S = \left\{ {3;5} \right\}\)

Tổng tất cả các phần tử của \(S\)bằng \(3 + 5 = 8\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.