Một đoạn thép dài 16m được uốn thành đường khép kín (S) bao gồm hai

Câu hỏi số 724541:

Vận dụng

Một đoạn thép dài 16m được uốn thành đường khép kín (S) bao gồm hai cạnh AB, CD của hình chữ nhật ABCD và hai nửa cung tròn đường kính BC, AD (hình vẽ). Tính độ dài cạnh AD khi diện tích hình phẳng (S) đạt giá trị lớn nhất (Làm tròn đến hàng đơn vị)

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:724541

Phương pháp giải

- Biểu diễn các diện tích hình phẳng theo a, b.

- Tìm quan hệ giữa a, b.

- Biểu diễn diện tích (S) theo một biến và tìm giá trị lớn nhất.

Giải chi tiết

Đặt AD = 2a, AB = b.

Khi đó \({S_{ABCD}} = AB.AD = 2ab\)

Diện tích của hai nửa đường tròn là \({S_1} = \pi {a^2}\)

Do đó diện tích hình phẳng \(\left( S \right)\) là \(S = {S_{ABCD}} - {S_1} = 2ab - \pi {a^2}\)

Theo bài ra ta có \(2\pi a + 2b = 16 \Rightarrow 2b = 16 - 2\pi a\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}S = a\left( {16 - 2\pi a} \right) - \pi {a^2}\\\,\,\,\, = 16a - 3\pi {a^2} = - \pi \left( {3{a^2} - \dfrac{{16a}}{\pi }} \right)\\\,\,\,\, = - \pi \left( {3{a^2} - 2.\sqrt 3 a.\dfrac{8}{{\sqrt 3 \pi }} + \dfrac{{64}}{{3{\pi ^2}}}} \right) + \dfrac{{64}}{{3\pi }}\\\,\,\,\, = - \pi {\left( {a\sqrt 3 - \dfrac{8}{{\pi \sqrt 3 }}} \right)^2} + \dfrac{{64}}{{3\pi }} \le \dfrac{{64}}{{3\pi }}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a\sqrt 3 = \dfrac{8}{{\pi \sqrt 3 }} \Leftrightarrow a = \dfrac{8}{{3\pi }} \Leftrightarrow AD = 2a = \dfrac{{16}}{{3\pi }} = 2\).

Đáp án cần điền là: 2

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.