Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ , $SA$ vuông góc với mặt đáy \(\left(

Câu hỏi số 725649:

Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ , $SA$ vuông góc với mặt đáy $\left( {ABCD} \right)$ và $SA = a$ . Điểm $M$ thuộc cạnh $SA$ sao cho $\dfrac{{SM}}{{SA}} = k$ , $0 < k < 1$ . Tìm giá trị của $k$ để mặt phẳng $\left( {BMC} \right)$ chia đôi khối chóp $S.ABCD$ thành hai phần có thể tích bằng nhau.

k = \frac{- 1 + \sqrt{2}}{2}

$k = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{2}$ .

k = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}

$k = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{4}$ .

k = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}

$k = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}$ .

k = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{4}

$k = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{4}$ .

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:725649

Giải chi tiết

Trong $\left( {SAD} \right)$ kẻ $MN{\rm{//}}AD$ , với $N \in SD$ . Suy ra thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $\left( {BMC} \right)$ là hình thang $MNCB$ .

Ta có $\dfrac{{{V_{S.MNC}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SN}}{{SD}} = {k^2}$ và $\dfrac{{{V_{S.MBC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}} = k$ .

Suy ra $\dfrac{{2{V_{S.MNC}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} + \dfrac{{2{V_{S.MBC}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = {k^2} + k \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.MNCB}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{{{k^2} + k}}{2}$ .

Do mặt phẳng $\left( {BMC} \right)$ chia đôi khối chóp $S.ABCD$ thành hai phần có thể tích bằng nhau nên $\dfrac{{{k^2} + k}}{2} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {k^2} + k - 1 = 0 \Leftrightarrow k = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}$ (vì $0 < k < 1$ ).

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.