Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(SA\) vuông góc với mặt đáy \(\left(

Câu hỏi số 725649:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(SA\) vuông góc với mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\). Điểm \(M\) thuộc cạnh \(SA\) sao cho \(\dfrac{{SM}}{{SA}} = k\), \(0 < k < 1\). Tìm giá trị của \(k\) để mặt phẳng \(\left( {BMC} \right)\) chia đôi khối chóp \(S.ABCD\) thành hai phần có thể tích bằng nhau.

A. \(k = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{2}\).

B. \(k = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{4}\).

C. \(k = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\).

D. \(k = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{4}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:725649

Giải chi tiết

Trong \(\left( {SAD} \right)\) kẻ \(MN{\rm{//}}AD\), với \(N \in SD\). Suy ra thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\) cắt bởi mặt phẳng \(\left( {BMC} \right)\) là hình thang \(MNCB\).

Ta có \(\dfrac{{{V_{S.MNC}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SN}}{{SD}} = {k^2}\) và \(\dfrac{{{V_{S.MBC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}} = k\).

Suy ra \(\dfrac{{2{V_{S.MNC}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} + \dfrac{{2{V_{S.MBC}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = {k^2} + k \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.MNCB}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{{{k^2} + k}}{2}\).

Do mặt phẳng \(\left( {BMC} \right)\) chia đôi khối chóp \(S.ABCD\) thành hai phần có thể tích bằng nhau nên \(\dfrac{{{k^2} + k}}{2} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {k^2} + k - 1 = 0 \Leftrightarrow k = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\) (vì \(0 < k < 1\)).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.