1) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2\sqrt {xy - {y^2} - y} = 4y + 1}\\{\sqrt

Câu hỏi số 726664:

Vận dụng cao

1) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2\sqrt {xy - {y^2} - y} = 4y + 1}\\{\sqrt {4{y^2} - x - 2} + \sqrt {y - 1} = 2y}\end{array}} \right.\).

2) Xét ba số dương \(a,b,c\) thay đổi và thỏa mãn điều kiện \(abc = 1\).

Chứng minh rằng \(\dfrac{a}{{3a + 1}} + \dfrac{b}{{3b + 1}} + \dfrac{c}{{3c + 1}} \le \dfrac{3}{4}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:726664

Giải chi tiết

1) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2\sqrt {xy - {y^2} - y} = 4y + 1}\\{\sqrt {4{y^2} - x - 2} + \sqrt {y - 1} = 2y}\end{array}} \right.\).

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}xy - {y^2} - y \ge 0\\4{y^2} - x - 2 \ge 0\\y - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy - {y^2} - y \ge 0\\4{y^2} - x - 2 \ge 0\\y \ge 1\end{array} \right.\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x - 2y - 1 = 2y - 2\sqrt {xy - {y^2} - y} \)

\( \Leftrightarrow x - 2y - 1 = \dfrac{{4{y^2} - 4\left( {xy - {y^2} - y} \right)}}{{2y + 2\sqrt {xy - {y^2} - y} }}\)

\( \Leftrightarrow x - 2y - 1 = \dfrac{{8{y^2} - 4xy + 4y}}{{2y + 2\sqrt {xy - {y^2} - y} }}\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 2y - 1} \right)\left( {1 + \dfrac{{4y}}{{2y + 2\sqrt {xy - {y^2} - y} }}} \right) = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Dựa vào điều kiện ta thấy \(1 + \dfrac{{4y}}{{2y + 2\sqrt {xy - {y^2} - y} }} > 0\) nên

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow x - 2y - 1 = 0\\ \Leftrightarrow x = 2y + 1\end{array}\)

Thay \(x = 2y + 1\) vào \(\left( 2 \right)\) ta có:

\((2) \Leftrightarrow \sqrt {4{y^2} - 2y - 3} + \sqrt {y - 1} = 2y\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {4{y^2} - 2y - 3} - (2y - 1) = 1 - \sqrt {y - 1} \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{4{y^2} - 2y - 3 - 4{y^2} + 4y - 1}}{{\sqrt {4{y^2} - 2y - 3} + 2y + 1}} = \dfrac{{1 - y + 1}}{{1 + \sqrt {y + 1} }}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{2y - 4}}{{\sqrt {4{y^2} - 2y - 3} + 2y + 1}} = \dfrac{{2 - y}}{{1 + \sqrt {y + 1} }}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 2\\\dfrac{2}{{\sqrt {4{y^2} - 2y - 3} + 2y + 1}} = \dfrac{{ - 1}}{{1 + \sqrt {y + 1} }}\left( {vn} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {5;2} \right)\).

2) Xét ba số dương \(a,b,c\) thay đổi và thỏa mãn điều kiện \(abc = 1\).

Chứng minh rằng \(\dfrac{a}{{3a + 1}} + \dfrac{b}{{3b + 1}} + \dfrac{c}{{3c + 1}} \le \dfrac{3}{4}\).

\(P = \dfrac{a}{{3a + 1}} + \dfrac{b}{{3b + 1}} + \dfrac{c}{{3c + 1}}\)

\(\; \Rightarrow 3P = \dfrac{{3a}}{{3a + 1}} + \dfrac{{3b}}{{3b + 1}} + \dfrac{{3c}}{{3c + 1}} = 3 - \left( {\dfrac{1}{{3a + 1}} + \dfrac{1}{{3b + 1}} + \dfrac{1}{{3c + 1}}} \right)\)

Đặt \(Q = \dfrac{1}{{3a + 1}} + \dfrac{1}{{3b + 1}} + \dfrac{1}{{3c + 1}}\)

Bằng cách đổi biến \(a = \dfrac{x}{y};b = \dfrac{y}{z}\) và \(c = \dfrac{z}{x}(\) với \(x,y,z > 0)\) khi đó:

\(Q = \dfrac{1}{{3\dfrac{x}{y} + 1}} + \dfrac{1}{{3\dfrac{y}{z} + 1}} + \dfrac{1}{{3\dfrac{z}{x} + 1}} = \dfrac{y}{{3x + y}} + \dfrac{z}{{3y + z}} + \dfrac{x}{{3z + x}}\)

Biến đổi một chút và sử dụng bất đẳng thức cộng mẫu:

\(Q = \dfrac{{{y^2}}}{{3xy + {y^2}}} + \dfrac{{{z^2}}}{{3yz + {z^2}}} + \dfrac{{{x^2}}}{{3zx + {x^2}}}\)\(\; \ge \dfrac{{{{(x + y + z)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} + 3xy + 3yz + 3zx}} = \dfrac{{{{(x + y + z)}^2}}}{{{{(x + y + z)}^2} + xy + yz + zx}}\)

Theo bất đẳng thức cơ bản thì:

\(xy + yz + zx \le \dfrac{1}{3}{(x + y + z)^2}\)

\(\; \Rightarrow {(x + y + z)^2} + xy + yz + zx\)

\(\; \le {(x + y + z)^2} + \dfrac{1}{3}{(x + y + z)^2} = \dfrac{4}{3}{(x + y + z)^2}\)

\( \Rightarrow Q \ge \dfrac{{{{(x + y + z)}^2}}}{{\dfrac{4}{3}{{(x + y + z)}^2}}} = \dfrac{3}{4}\)

Suy ra: \(3P = 3 - Q \le 3 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{4} \Rightarrow P \le \dfrac{3}{4}{\rm{.\;}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \({\rm{x}} = {\rm{y}} = {\rm{z}}\) hay \({\rm{a}} = {\rm{b}} = {\rm{c}} = 1\).

Bài toán được chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link