Cho hai số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \(8{a^2} + 2{b^2} = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi số 726708:

Vận dụng cao

Cho hai số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \(8{a^2} + 2{b^2} = 1\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \dfrac{{4a - b - 1}}{{1 + b}} - \dfrac{{2a - 2b + 1}}{{1 + 2a}} - \dfrac{{6a + 3b - 6077}}{{6a + 3b}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:726708

Giải chi tiết

Đặt \(x = 2a,y = b\). Do \(8{a^2} + 2{b^2} = 1 \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 1\)

\(\begin{array}{l}T = \dfrac{{4a - b - 1}}{{1 + b}} - \dfrac{{2a - 2b + 1}}{{1 + 2a}} - \dfrac{{6a + 3b - 6077}}{{6a + 3b}}\\ = \dfrac{{2x - y - 1}}{{1 + y}} - \dfrac{{x - 2y + 1}}{{1 + x}} - \dfrac{{3x + 3y - 6077}}{{3x + 3y}}\\ = \dfrac{{2x}}{{y + 1}} - 1 + \dfrac{{2y}}{{x + 1}} - 1 + \dfrac{{6077}}{{3\left( {x + y} \right)}} - 1\\ = \dfrac{{2x}}{{y + 1}} + \dfrac{{2y}}{{x + 1}} + \dfrac{{6077}}{{3\left( {x + y} \right)}} - 3\\ = \dfrac{{2{x^2}}}{{xy + x}} + \dfrac{{2{y^2}}}{{xy + y}} + \dfrac{{6077}}{{3\left( {x + y} \right)}} - 3 \ge \dfrac{{2{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{2xy + x + y}} + \dfrac{{6077}}{{3\left( {x + y} \right)}} - 3\end{array}\)

Do \({x^2} + {y^2} \ge 2xy \Rightarrow 2xy \le \dfrac{1}{2}\)

\({\left( {x + y} \right)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \Rightarrow x + y \le \sqrt {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} = 1\)

\( \Rightarrow 2xy + x + y \le \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow T \ge \dfrac{{2{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{\dfrac{3}{2}}} + \dfrac{{6077}}{{3\left( {x + y} \right)}} - 3\\ = \dfrac{4}{3}{\left( {x + y} \right)^2} + \dfrac{{6077}}{{3\left( {x + y} \right)}} - 3\\ = \dfrac{4}{3}{\left( {x + y} \right)^2} + \dfrac{4}{{3\left( {x + y} \right)}} + \dfrac{4}{{3\left( {x + y} \right)}} + \dfrac{{2023}}{{x + y}} - 3\\ \ge \dfrac{4}{3}.3 + \dfrac{{2023}}{1} - 3 = 2024\end{array}\)

Dấu “=” có khi \(x = y = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{4}\\b = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link