Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC (AB < AC). Hai đường caoBD và CE của tam giác
Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC (AB < AC). Hai đường cao
BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại H (D \( \in \) AC, E \( \in \) AB). Tia phân giác của góc BAC cắt đường thẳng BD và đường tròn (O) lần lượt tại M và I (I khác A). Đường thẳng BD cắt đường tròn (O) tại K (K khác B), hai đường thẳng AC và IK cắt nhau tại Q.
1) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp.
2) Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng QH và AB. Chứng minh đường thẳng MQ song song với đường thẳng BC và AI là đường trung trực của PQ.
3) Đặt BC = x, DE = y. Tính độ dài đoạn thẳng MQ theo x, y.
Quảng cáo
1) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp.
Do BD và CE là đường cao của tam giác ABC nên
\(CE \bot AB,BD \bot AC \Rightarrow \angle CEA = \angle BDA = {90^0}\)
Xét tứ giác AEHD có:
\(\angle AEH + \angle ADH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này ở vị trí đối diện
Suy ra tứ giác AEHD nội tiếp.
2) Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng QH và AB. Chứng minh đường thẳng MQ song song với đường thẳng BC và AI là đường trung trực của PQ.
Mà (do AI là phân giác của góc BAC)
\( \Rightarrow \angle AMK = \angle AQK\)
Mà 2 góc này ở vị trí kề nhau, cùng nhìn AK dưới hai góc bằng nhau
\( \Rightarrow A,M,Q,K\)cùng thuộc một đường tròn
\( \Rightarrow \angle KMQ = \angle KAQ\) (góc nội tiếp cùng chắn cung KQ)
Mà \(\angle KAQ = \angle KAC = \angle KBC\) (góc nội tiếp cùng chắn cung KC)
\( \Rightarrow \angle KMQ = \angle KBC\left( { = \angle KAC} \right)\)
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(MQ\parallel BC\)
\(\Delta ABC\) có H là trực tâm nên \(AH \bot BC\)
Do \(MQ\parallel BC \Rightarrow MQ \bot AH\)
Xét \(\Delta AHQ\) có \(HD,MQ\) là đường cao cắt nhau tại M
\( \Rightarrow M\) là trực tâm \(\Delta AHQ\)
\( \Rightarrow AM \bot HQ\)
\(\Delta APQ\) có AM vừa là đường cao vừa là phân giác nên đồng thời là trung trực
Chứng tỏ AI là trung trực của PQ
3) Đặt BC = x, DE = y. Tính độ dài đoạn thẳng MQ theo x, y.
Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ABC\) có
\(\angle BAC\) chung
\(\angle ADE = \angle ABC\) (góc ngoài đỉnh đối diện tứ giác nội tiếp)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ADE \sim \Delta ABC\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{DE}}{{BC}} = \dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{y}{x}\end{array}\)
Ta có \(\dfrac{{DM}}{{MB}} = \dfrac{{AD}}{{AB}}\) (tính chất phân giác)
\( \Rightarrow \dfrac{{DM}}{{MB}} = \dfrac{y}{x} \Rightarrow \dfrac{{DM}}{{BD}} = \dfrac{y}{{x + y}}\)
Do \(MQ\parallel BC \Rightarrow \dfrac{{MQ}}{{BC}} = \dfrac{{DM}}{{DB}} \Rightarrow \dfrac{{MQ}}{x} = \dfrac{y}{{x + y}} \Rightarrow MQ = \dfrac{{xy}}{{x + y}}\)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
