Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{ \;}} - 1}} - \dfrac{1}{{x - \sqrt x }}}

Câu hỏi số 726796:

Vận dụng

Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{ \;}} - 1}} - \dfrac{1}{{x - \sqrt x }}} \right):\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}} + \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)\).

a) Rút gọn \(P\)

b) Tính giá trị của \(P\) biết \(x = 7 - 4\sqrt 3 \)

c) Tìm \(x\) biết \(P = \dfrac{3}{2}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:726796

Phương pháp giải

a) Quy đồng và rút gọn.

b) Phân tích \(x = 7 - 4\sqrt 3 {\rm{ \;}} = {2^2} - 2.2\sqrt 3 {\rm{ \;}} + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tmdk} \right)\)

c) Cho \(P = \dfrac{3}{2}\) và giải phương trình.

Giải chi tiết

a) ĐKXĐ: \(x > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 1\).

\(P = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{1}{{x - \sqrt x }}} \right):\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} + \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)\)

\(P = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} + \dfrac{2}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right)\)

\(P = \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x - 1 + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

b) Ta có: \(x = 7 - 4\sqrt 3 {\rm{ \;}} = {2^2} - 2.2\sqrt 3 {\rm{ \;}} + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tmdk} \right)\)

Thay vào \(P\):

\(\begin{array}{*{20}{l}}{P = \dfrac{{\left( {7 - 4\sqrt 3 } \right) - 1}}{{\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \dfrac{{6 - 4\sqrt 3 }}{{2 - \sqrt 3 }} = \dfrac{{\left( {6 - 4\sqrt 3 } \right).\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}}\\{P = \dfrac{{12 + 6\sqrt 3 {\rm{ \;}} - 8\sqrt 3 {\rm{ \;}} - 12}}{{4 - 3}} = \dfrac{{ - 2\sqrt 3 }}{1} = {\rm{ \;}} - 2\sqrt 3 }\end{array}\)

c) \(P = \dfrac{3}{2}\)

\(\dfrac{{x - 1}}{{\sqrt x }} = \dfrac{3}{2}\)

\(2\left( {x - 1} \right) = 3\sqrt x {\rm{ \;}}\)

\(2x - 3\sqrt x {\rm{ \;}} - 2 = 0\)

Đặt \(\sqrt x {\rm{ \;}} = t{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {t > 0,{\mkern 1mu} t \ne 1} \right)\).

Phương trình trở thành \(2{t^2} - 3t - 2 = 0\)

Giải phương trình trên ta được \(t = 2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} t = - \dfrac{1}{2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {ktm} \right)\).

\(t = 2\) suy ra \(x = 4{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tmdk} \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link