Cho hai biểu thức: \(A{\mkern 1mu} = {\mkern 1mu} \dfrac{{2\sqrt x {\rm{\;}} - 4}}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}}\)

Câu hỏi số 726854:

Vận dụng

Cho hai biểu thức: \(A{\mkern 1mu} = {\mkern 1mu} \dfrac{{2\sqrt x {\rm{\;}} - 4}}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}}\) và \(B{\mkern 1mu} = {\mkern 1mu} \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}} + \dfrac{3}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} - \dfrac{{6\sqrt x {\rm{\;}} - 4}}{{x - 1}}\) với \(x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 1.\)

1) Tính giá trị của A khi \(x = 4.\)

2) Rút gọn B.

3) So sánh A.B với 5.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:726854

Phương pháp giải

+) Sử dụng hằng đẳng thức: \({a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\).

+) Để so sánh a và b ta xét hiệu \(a - b\) .

Giải chi tiết

1) Khi \(x = 4\) (TMĐK) thì \(A{\mkern 1mu} = {\mkern 1mu} \dfrac{{2\sqrt 4 {\rm{\;}} - 4}}{{\sqrt 4 {\rm{\;}} - 1}} = \dfrac{{2.2 - 4}}{{2 - 1}} = \dfrac{0}{1} = 0\)

2) Với \(x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 1.\)

\(\;B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \dfrac{3}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{6\sqrt x - 4}}{{x - 1}}\)

\( = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \dfrac{{3\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \dfrac{{6\sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

\(\; = \dfrac{{x + \sqrt x + 3\sqrt x - 3 - 6\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

\( = \dfrac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

\(\; = \dfrac{{{{(\sqrt x - 1)}^2}}}{{x - 1}} = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\)

3) ĐK: \(x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 1.\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{A.B - 5 = \dfrac{{2\sqrt x {\rm{\;}} - 4}}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}}.\dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} - 5 = \dfrac{{2\sqrt x {\rm{\;}} - 4}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} - 5}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \dfrac{{2\sqrt x {\rm{\;}} - 4 - 5\sqrt x {\rm{\;}} - 5}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} = \dfrac{{ - 3\sqrt x {\rm{\;}} - 9}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}}\end{array}\)

Có \(\sqrt x {\rm{\;}} \ge 0\;\forall x \ge 0 \Rightarrow {\rm{\;}} - 3\sqrt x {\rm{\;}} \le 0\;\forall x \ge 0 \Rightarrow {\rm{\;}} - 3\sqrt x {\rm{\;}} - 9 < 0\;\forall x \ge 0\)

Mặt khác \(\sqrt x {\rm{\;}} \ge 0\;\forall x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x {\rm{\;}} + 1 > 0\;\forall x \ge 0.\)

Khi đó \(A.B - 5 = \dfrac{{ - 3\sqrt x {\rm{\;}} - 9}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} < 0\;\;\forall x \ge 0\) hay \(A.B < 5\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link