Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\left( {AB < AC} \right)\). Đường tròn \(\left( I \right)\) nội tiếp tam
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\left( {AB < AC} \right)\). Đường tròn \(\left( I \right)\) nội tiếp tam giác \(ABC\) tiếp xúc với \(BC\) tại \(D\). Chứng minh rằng:
a) \(BD = \dfrac{{BC + AB - AC}}{2}\)
b) \({S_{ABC}} = BD.DC\)
Quảng cáo
a) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.
b) Áp dụng định lí Pythagore.
a) Gọi \(E,F\) là tiếp điểm của đường tròn \(\left( I \right)\) với các cạnh \(AB,AC\)
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \(AE = AF;BE = BD;CD = CF\)
Do đó:
\(2BD = BD + BE\)
\( = BC - CD + AB - AE\)
\( = BC + AB - \left( {CD + AE} \right)\)
\( = BC + AB - \left( {CF + AF} \right)\)
\( = BC + AB - AC\)
Suy ra \(BD = \dfrac{{BC + AB - AC}}{2}\)
b) Tương tự câu a) ta có: \(DC = \dfrac{{BC + AC - AB}}{2}\)
Mà \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\,(\Delta ABC\) vuông tại \(A)\), do đó: \(BD.DC = \dfrac{{\left( {BC + AB - AC} \right)\left( {BC + AC - AB} \right)}}{4}\) \( = \dfrac{{B{C^2} - {{(AB - AC)}^2}}}{4} = \dfrac{{B{C^2} - A{B^2} - A{C^2} + 2AB.AC}}{4} = \dfrac{{AB.AC}}{2} = {S_{ABC}}\).
Vậy \({S_{ABC}} = BD.DC\)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
